Funkcja odwrotna

Funkcję ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle g{\big (}f(x){\big )}=x}$  dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ 

${\displaystyle f{\big (}g(y){\big )}=y}$  dla każdego ${\displaystyle y\in Y.}$ 

Innymi słowy ${\displaystyle g}$

Bezpośrednio z definicji wynika, że ${\displaystyle f}$

Oznaczenia ${\displaystyle f^{-1}(x)}$

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczenie funkcji odwrotnej ${\displaystyle g}$

${\displaystyle y=f(x)}$ 

względem niewiadomej ${\displaystyle x.}$

${\displaystyle x=g(y),}$ 

to poszukiwana funkcja odwrotna.

• Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL^[2])
• Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
• Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem ${\displaystyle y(x)=3x}$  jest funkcja ${\displaystyle x(y)={\tfrac {y}{3}}.}$ 
• Funkcja ${\displaystyle f(n)=n^{2}}$  nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że ${\displaystyle f(1)=f(-1)=1}$  (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem ${\displaystyle g(n)={\sqrt {n}}}$  dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  nie jest funkcją odwrotną do funkcji ${\displaystyle f.}$ 
• Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem ${\displaystyle h(x)={\tfrac {1}{x}}}$  dla ${\displaystyle x\neq 0}$  jest ona sama, tzn. ${\displaystyle h^{-1}(x)={\tfrac {1}{x}}}$  (zob. Inwolucje).

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{jeżeli }}&f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X},\\&{\text{to }}&f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.\end{aligned}}}$ 

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$ 

Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$ 

Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku ${\displaystyle g}$

Jeżeli ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {id} _{X}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$ 

Ogólniej, jeżeli funkcja ${\displaystyle f\colon X\to X}$

• Funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej jest monotoniczna: odwrotna do rosnącej jest rosnąca, zaś odwrotna do malejącej jest malejąca.
• Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  jest ciągła.
• Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej ${\displaystyle f(x)}$  jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których ${\displaystyle f'(x)=0,}$  w szczególności ${\displaystyle (f^{-1})'(y)={\tfrac {1}{f'(x)}}}$ 
• Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej ${\displaystyle f}$  jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych ${\displaystyle OXY}$  (o równaniu ${\displaystyle y=f(x)}$ ) jest symetryczny do wykresu funkcji odwrotnej do niej (o równaniu ${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$ ) względem prostej ${\displaystyle y=x}$ ^[1].

•   Piotr Stachura, Funkcja odwrotna, kanał Khan Academy na YouTube, 29 stycznia 2024 [dostęp 2024-07-26].
•   Paweł Lubowiecki, Odwzorowania cz. III Funkcja odwrotna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Inverse Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
•   Inverse function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].