Jądro (algebra)

Jądro – dla danej struktury algebraicznej homomorficzny przeciwobraz elementu neutralnego. Dla danego homomorfizmu $f$ jego jądro oznacza się zwykle $\ker f$ (od ang. kernel)^[1].

Homomorfizm grupowy

Osobny artykuł: Homomorfizm grupowy#Jądro i obraz.

Niech $f\colon G\to H$

będzie homomorfizmem grup. W teorii grup jądrem homomorfizmu

f

nazywamy podgrupę

f^{-1}(e),

gdzie

e

H.

Homomorfizm $f\colon G\to H$

jest przekształceniem różnowartościowym (monomorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy

\ker f=\{e\}.

Osobny artykuł: Morfizmy pierścieni#Jądro.

Niech $f\colon R\to S$

f

nazywa się podzbiór

f^{-1}(0),

gdzie

0

oznacza element neutralny w grupie addytywnej pierścienia

R.

Główny artykuł: Jądro (algebra liniowa).

Niech $f\colon U\to V$

będzie przekształceniem liniowym (homomorfizmem przestrzeni liniowych) między przestrzeniami liniowymi nad ciałem

K.

W algebrze liniowej jądrem przekształcenia liniowego

f

nazywany jest przeciwobraz wektora zerowego, czyli podzbiór

\left\{x\in U\colon f(x)=0\right\}.

$\ker f$ jest podprzestrzenią liniową dziedziny przekształcenia $f,$
$\dim f=\dim \ker f+\dim \operatorname {im} f,$ gdzie ${\mbox{im }}f$ oznacza obraz przekształcenia $f,$
przekształcenie $f$ jest różnowartościowe $\iff \ker f=\{0\}.$