Liczby doskonałe

Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych naturalnych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych)^[1]. Korzystając z pojęcia funkcji σ, można liczby doskonałe definiować jako te, dla których zachodzi warunek:

\sigma (n)=2n.

Najmniejszą liczbą doskonałą jest $6$ , ponieważ $6=3+2+1.$ Następną jest $28,$ ponieważ $28=14+7+4+2+1.$

Kolejnymi są $496,$ $8128,$ $33550336,$ $8589869056,$ $137438691328$ i $2305843008139952128.$

Największą znaną obecnie (21 października 2024) liczbą doskonałą jest $2^{136279840}\cdot (2^{136279841}-1),$ liczy ona 82 048 640 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym^[2].

Wszystkie znane liczby doskonałe są parzyste. Nie udało się dotąd znaleźć żadnej liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją.

Metoda Euklidesa znajdowania liczb doskonałych

W IX księdze Elementów, najstarszym piśmie opisującym liczby doskonałe, Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych^[3]:

należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki

1+2+4+8+\dots

Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Sposób podany przez Euklidesa każe badać kolejno sumy:

1+2^{1},\quad 1+2^{1}+2^{2},\quad 1+2^{1}+2^{2}+2^{3},\quad \dots

Są to sumy ciągu geometrycznego o ilorazie $2,$

więc mają one postać

2^{i}-1.

Jeśli któraś z tych liczb

2^{i}-1

okaże się liczbą pierwszą, to

(2^{i}-1)\cdot 2^{i-1}

jest liczbą doskonałą.

Własności

Leonhard Euler udowodnił, że każda liczba doskonała parzysta ma postać $(2^{p}-1)2^{p-1}$

, gdzie

2^{p}-1

jest liczbą pierwszą. Warunkiem pierwszości liczby

2^{p}-1

jest pierwszość liczby

p

. Rzeczywiście, niech

n=ab

będzie liczbą złożoną, gdzie

a,b>1

są liczbami naturalnymi. Wówczas

2^{n}-1=2^{ab}-1=(2^{a})^{b}-1^{b}=

=(2^{a}-1)(2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+2^{a(b-3)}+\ldots +2^{a(b-b)})

również jest liczbą złożoną. Istnieje jednoznaczna odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne’a w postaci

M_{p}=2^{p}-1

.

Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci $p^{4k+1}l^{2},$

gdzie

p

jest liczbą pierwszą postaci

4m+1.

Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od

10^{1500}.

Zobacz też

Przypisy

↑ liczba doskonała, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-08] .
↑ List of known Mersenne prime numbers – PrimeNet [online], www.mersenne.org [dostęp 2025-04-16] (ang.).
↑ H.N.H.N. Jahnke H.N.H.N., A history of analysis, Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 3-4, ISBN 0-8218-2623-9, OCLC 51607350 [dostęp 2021-07-19] .

Bibliografia

Wacław Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna.
Władysław Narkiewicz, Nieparzyste Liczby doskonałe, Delta, 12(403), s. 4.
WłodzimierzW. Holsztyński WłodzimierzW., Liczby doskonałe, „Delta”, grudzień 2007, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

Nagrania na YouTube [dostęp 2024-09-04]:

Liczby doskonałe, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki”, 10 października 2017.
Tomasz Miller, Liczby pierwsze i doskonałe, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński (CKBI UJ), kanał „Copernicus”, 27 października 2022.

Anglojęzyczne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Perfect Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Odd Perfect Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Perfect number, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
Derek Muller, The Oldest Unsolved Problem in Math, kanał Veritasium na YouTube, 8 marca 2024 [dostęp 2024-03-25].
Mersenne Prime Search
Odd Perfect Number Search. oddperfect.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2018-11-06)].

[epwn-1] liczba doskonała, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-08] .

[perf_numb-2] List of known Mersenne prime numbers – PrimeNet [online], www.mersenne.org [dostęp 2025-04-16] (ang.).

[3] H.N.H.N. Jahnke H.N.H.N., A history of analysis, Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 3-4, ISBN 0-8218-2623-9, OCLC 51607350 [dostęp 2021-07-19] .

[1]

[2]

[3]