Przyspieszenie

Przyspieszenie
Rodzaj wielkości	wektorowa
Symbol
Jednostka SI	m/s², m·s−2
W podstawowych jednostkach SI
Wymiar
	Multimedia w Wikimedia Commons
	Hasło w Wikisłowniku

Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Przyspieszenie – wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora prędkości w czasie^[1]^[2].

Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości^[3]. Jeśli przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje, a przyspieszenie to jest wtedy nazywane opóźnieniem.

Definicja

Definicja przyspieszenia

Jeżeli dany wektor ${\vec {r}}$

określa położenie punktu materialnego, a wektor

{\vec {v}}

określa prędkość tego punktu, to jego przyspieszenie

{\vec {a}}

jest pochodną prędkości po czasie:

{\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}.

Ponieważ prędkość z kolei jest pochodną położenia po czasie, to przyspieszenie można zapisać jako drugą pochodną położenia po czasie:

{\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}.

Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu.

[{\vec {a}}]=\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} .

Związek z dynamiką

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki przyspieszenie ${\vec {a}}$

ciała jest proporcjonalne do wypadkowej siły

{\vec {F}}

działającej na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała

m.

Kierunek i zwrot przyspieszenia

{\vec {a}}

pokrywa się z kierunkiem i zwrotem siły

{\vec {F}}.

Wzór wyrażający tę zależność ma postać

{\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.

W ruchu prostoliniowym

W ruchu po linii prostej kierunek prędkości jest ustalony, więc można ją traktować tak jak wielkość skalarną. Wówczas przyspieszenie określa wzór:

a={\frac {dv}{dt}}.

W ruchu jednostajnie zmiennym

Gdy przyspieszenie jest stałe ( $a=\mathrm {const}$

), wzór definicyjny przybiera postać

a={\frac {\Delta v}{\Delta t}},

gdzie $\Delta v$

jest przyrostem prędkości w czasie

\Delta t.

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym

Przyspieszenie styczne

a_{t}

i normalne

a_{n}

Jeżeli punkt porusza się po torze krzywoliniowym^[4], wówczas jego całkowite przyspieszenie może być rozłożone na dwie składowe: prostopadłą do toru ruchu zwaną przyspieszeniem dośrodkowym lub normalnym (oznaczanym ${\vec {a}}_{n}$

) i składową równoległą do toru, zwaną przyspieszeniem stycznym (ozn.

{\vec {a}}_{t}

).

Wektor ${\vec {a}}$

przyspieszenia całkowitego jest sumą jego składowych – normalnej

{\vec {a}}_{n}

i stycznej

{\vec {a}}_{t}{:}

{\vec {a}}={\vec {a}}_{n}+{\vec {a}}_{t}.

Składowe – styczna i normalna – są wzajemnie prostopadłe i dlatego wartość przyspieszenia całkowitego jest równa:

|{\vec {a}}|={\sqrt {|{\vec {a}}_{n}|^{2}+|{\vec {a}}_{t}|^{2}}}.

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)

Osobny artykuł: Przyspieszenie dośrodkowe.

Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na zmianę kierunku prędkości, a zatem na kształt toru, ale nie wpływa na zmianę wartości prędkości^[5]. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako $v,$

a chwilowy promień zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru, czyli promień krzywizny toru) ruchu wynosi

r,

to wartość

a_{n}

przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:

a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}.

Przyspieszenie styczne

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie $v$

dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie

s

dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne

a_{t}

określają wzory:

a_{t}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.

Przyspieszenie kątowe

Przyspieszenie kątowe ciała jest wielkością opisującą jego ruch obrotowy, utworzoną analogicznie do przyspieszenia liniowego, tylko wyrażoną w wielkościach kątowych. Jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt $\alpha ,$

a

\omega

oznacza jego prędkość kątową, to wartość przyspieszenia kątowego

\varepsilon

określa wzór

\varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\quad [\varepsilon ]={\frac {1}{{\text{s}}^{2}}}.

Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest jeden radian przez sekundę do kwadratu.

Dowolne współrzędne krzywoliniowe

Niech współrzędne krzywoliniowe $q_{1}(t),\,q_{2}(t),\,q_{3}(t)$

tworzą układ współrzędnych w przestrzeni

R^{3}.

Oznaczmy przez

\mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2},\,\mathbf {e} _{3}

wersory kierunków stycznych do osi tego układu^[1]^[6].

Jeżeli $\mathbf {a}$

jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami

a_{i}=\mathbf {a} \mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}{\frac {\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}},\quad i=1,2,3.

(1)

Ponieważ

{\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}\quad \longrightarrow \quad {\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}

zatem

a_{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\right)-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{i}}}\right].

(2)

Na podstawie wzoru dla prędkości

\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}

(3)

mamy

{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}

(4)

i dzięki temu

\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.

(5)

Mamy również

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}

(6)

oraz

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{2}q_{1}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{3}q_{1}}}{\dot {q}}_{3}.

(7)

Z porównania prawych stron (5) i (6) wynika, że

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}},\quad i=1,2,3.

(8)

Mamy zatem

\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}.

(9)

Po podstawieniu (5) i (9) do (2) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów $a_{i}$

wektora przyspieszenia

\mathbf {a}

na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

a_{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right],\quad i=1,2,3.

(9)

Pomiar

Do pomiaru służy przetwornik przyspieszenia nazywany przyspieszeniomierzem lub akceleromierzem czy akcelerometrem.

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.
↑ przyspieszenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-15] .
↑ J. Awrejcewicz, Mechanika techniczna i teoretyczna, Wyd. Politechniki Łódzkiej, Łódź 2011.
↑ M. Paluch, Mechanika teoretyczna, Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2006.
↑ R. Janiczek, Mechanika teoretyczna, Cz. 1, 2, 3, Wyd. Politechniki Śląskiej, Częstochowa 1979.
↑ Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретической механики, Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, Москва 1954.

[Sus-1] G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.

[epwn-2] przyspieszenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-15] .

[Awre-3] J. Awrejcewicz, Mechanika techniczna i teoretyczna, Wyd. Politechniki Łódzkiej, Łódź 2011.

[Pal-4] M. Paluch, Mechanika teoretyczna, Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2006.

[5] R. Janiczek, Mechanika teoretyczna, Cz. 1, 2, 3, Wyd. Politechniki Śląskiej, Częstochowa 1979.

[6] Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретической механики, Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, Москва 1954.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]