Warunek Lipschitza

Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant L|x_{1}-x_{2}|.}$ 

Definicja ta naturalnie rozszerza się na funkcje określone pomiędzy przestrzeniami metrycznymi.

Niech ${\displaystyle (X,d),(Y,\sigma )}$

${\displaystyle \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant L\cdot d(x_{1},x_{2}).}$ 

Najmniejszą liczba ${\displaystyle L}$

• Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  dana wzorem

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$ 

spełnia warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L=1.}$  Rzeczywiście, dla ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,x\neq y,}$  zachodzi

${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|{\sqrt {x^{2}+5}}-{\sqrt {y^{2}+5}}|={\Big |}{\tfrac {x^{2}+5-y^{2}-5}{{\sqrt {x^{2}+5}}+{\sqrt {y^{2}+5}}}}{\Big |}\leqslant {\Big |}{\tfrac {(|x|+|y|)(|x|-|y|)}{{\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}}}{\Big |}\leqslant |x-y|.}$ 

• Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  dana wzorem ${\displaystyle f(x)=|x|}$  jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L=1.}$ 
• Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  dana wzorem ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  nie spełnia warunku Lipschitza, bo nie jest jednostajnie ciągła.
• Niech ${\displaystyle a<b.}$  Funkcja ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$  dana wzorem ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  spełnia warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L=2|b|,}$  gdy ${\displaystyle |b|\leqslant |a|}$  oraz ze stałą ${\displaystyle L=2|a|,}$  gdy ${\displaystyle |a|\leqslant |b|.}$ 

• Każda funkcja lipschitzowska jest jednostajnie ciągła.

Dowód. Niech ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L.}$  Niech ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$  oraz niech dany będzie ${\displaystyle \varepsilon >0.}$  Gdy ${\displaystyle \delta =\varepsilon /L,}$  to ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant L|x_{1}-x_{2}|\leqslant L\varepsilon /L=\varepsilon }$  o ile tylko ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|\leqslant \delta .}$  Rozumowanie to przenosi się mutatis mutandis na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.

• Twierdzenie Rademachera: funkcje lipschitzowskie są prawie wszędzie różniczkowalne.

• Niech ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$  będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas ${\displaystyle f}$  spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lipschitza ${\displaystyle L}$  wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest ograniczona przez ${\displaystyle L.}$ 

Dowód. Załóżmy, że ${\displaystyle f}$  spełnia warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L.}$  Niech ${\displaystyle x_{0}\in (a,b).}$  Wówczas dla ${\displaystyle x\in (a,b),x\neq x_{0}{:}}$ 

${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right|={\frac {|f(x)-f(x_{0})|}{|x-x_{0}|}}\leqslant L.}$ 

Stąd ${\displaystyle |f'(x_{0})|\leqslant L.}$  By udowodnić przeciwną implikację, załóżmy, że ${\displaystyle |f'(x)|\leqslant L}$  dla wszelkich ${\displaystyle x\in (a,b).}$  Niech ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in (a,b).}$  Bez straty ogólności, można przyjąć, że ${\displaystyle x_{1}<x_{2}.}$  Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że istnieje takie ${\displaystyle c\in (x_{1},x_{2}),}$  że

${\displaystyle f(x_{2})-f(x_{1})=f'(c)(x_{2}-x_{1}).}$ 

Ponieważ ${\displaystyle |f'(c)|\leqslant L,}$ 

${\displaystyle |f(x_{2})-f(x_{1})|=|f'(c)|\,|x_{2}-x_{1}|\leqslant L|x_{2}-x_{1}|,}$ 

co pokazuje, że ${\displaystyle f}$  spełnia warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L.}$ 

• Niech ${\displaystyle (\Omega ,\mu )}$  będzie przestrzenią z miarą oraz niech ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$  będzie ciągiem funkcji rzeczywistych na ${\displaystyle \Omega .}$  Jeżeli ciąg ten jest zbieżny według miary do pewnej funkcji ${\displaystyle f}$  oraz funkcja ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  spełnia warunek Lipschitza, to ciąg ${\displaystyle (g\circ f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$  jest zbieżny według miary do ${\displaystyle g\circ f.}$ 

• twierdzenie Kirszbrauna
• twierdzenie Picarda

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Lipschitz Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-02-07].
•   Lipschitz function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].