Średnia arytmetyczna – suma liczb podzielona przez ich liczbę.
Dla liczb jest to więc wyrażenie[1]:
W języku potocznym średnią arytmetyczną określa się po prostu jako średnią.
Na przykład średnią czterech liczb, –5, –3, 0 i 12, jest
Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej rzędu 1.
Zastosowania
[edytuj | edytuj kod]Średnia arytmetyczna jest jedną z najbardziej intuicyjnych miar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu – przykładami mogą być średnia ocen z jakiegoś przedmiotu, średnia płaca w firmie, średnia cena pomarańczy na targowiskach w lipcu 2004 roku czy średni wzrost poborowych w danym roczniku.
Średnia arytmetyczna jest dobrą miarą położenia rozkładu i jednocześnie miarą tendencji centralnej. Jest to miara klasyczna rozkładu, czyli każda zmiana dowolnego elementu badanego zbioru pociąga za sobą zmianę wartości średniej.
Właściwości statystyczne średniej z próby
[edytuj | edytuj kod]Odchylenie standardowe średniej
[edytuj | edytuj kod]Jeśli uśredniamy nieskorelowanych[a] zmiennych o odchyleniach standardowych to odchylenie ich średniej arytmetycznej jest równe średniej kwadratowej odchyleń tych zmiennych:
Jeśli zmienne są skorelowane, wówczas odchylenie średniej będzie inne, np. dla dwóch zmiennych
gdzie to współczynnik korelacji między nimi.
W ogólnym przypadku dla skorelowanych zmiennych:
gdzie to kowariancja -tej i -tej zmiennej.
Prawo wielkich liczb
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie zmienną losową o skończonej wariancji i wartości oczekiwanej oraz niech będzie prostą próbą losową z tej zmiennej. Prawdopodobieństwo, że średnia będzie oszacowana precyzyjnie (znajdzie się nie dalej od prawdziwej wartości niż o dowolnie mały dodatni błąd ) dąży do 100% wraz ze wzrostem próby:
Innymi słowy średnia próbkowa dąży do wartości oczekiwanej w populacji wraz ze wzrostem liczności próby. Prawo wielkich liczb można wzmocnić na dwa sposoby, przedstawione dalej.
Centralne twierdzenie graniczne
[edytuj | edytuj kod]Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym rozkład średniej z -elementowej próby wraz ze wzrostem coraz lepiej odpowiada rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej i odchyleniu gdzie oraz to odpowiednio wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe w populacji, z której losowana jest próba. Ściślej dla dowolnych liczb rzeczywistych takich, że
gdzie:
- to zmienna o standardowym rozkładzie normalnym (o wartości oczekiwanej zero i wariancji równej jeden),
- to dystrybuanta rozkładu normalnego
Twierdzenie to jest prawdziwe niezależnie od rozkładu w populacji. Właściwość ta jest wykorzystywana w wielu metodach statystycznych i estymatorach. Centralne twierdzenie graniczne jest uogólnieniem prawa wielkich liczb, gdyż opisuje zachowanie całego rozkładu średniej, podczas gdy prawo wielkich liczb opisywało jeden jego parametr (wartość oczekiwaną).
Właściwości średniej jako estymatora
[edytuj | edytuj kod]Średnia arytmetyczna z próby jest, niezależnie od rozkładu, estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej rozkładu, z którego próba była losowana. Jeśli jest to rozkład normalny, to średnia jest również estymatorem efektywnym.
Ograniczenia
[edytuj | edytuj kod]Średnia arytmetyczna jest podatna na skośność rozkładu i obserwacje odstające. W takiej sytuacji inne średnie, takie jak mediana, czy statystyki odpornościowe, np. średnia ucinana lub metody z regularyzacją, mogą dawać lepsze wyniki[2][3].
Nierówność Jensena oznacza, że funkcja średnich ma inną wartość niż średnia tej funkcji.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Nie muszą być niezależne, wystarcza zerowa wartość współczynnika korelacji Pearsona.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ średnia arytmetyczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01] .
- ↑ Jeffrey N. Rouder , Jason Dana , Clintin P. Davis-Stober , Estimation accuracy in the psychological sciences, „PLOS One”, 13 (11), 2018, e0207239, DOI: 10.1371/journal.pone.0207239, ISSN 1932-6203, PMID: 30475810, PMCID: PMC6261010 [dostęp 2019-04-05] (ang.).
- ↑ Andy P. Field , Rand R. Wilcox , Robust statistical methods: A primer for clinical psychology and experimental psychopathology researchers, „Behaviour Research and Therapy”, 98, 2017, s. 19–38, DOI: 10.1016/j.brat.2017.05.013 [dostęp 2019-04-05] (ang.).
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001. ISBN 83-204-2684-7.
- W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.