Część wspólna, przekrój, przecięcie, iloczyn mnogościowy[1] – zbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.
Definicje
[edytuj | edytuj kod]Część wspólna zbiorów i to zbiór, do którego należą te elementy zbioru które należą również do [2][3]. Część wspólna zbiorów i jest oznaczana przez Tak więc:
co jest równoważne zapisowi
gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[8][9] lub uniwersum[10].
Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny [11]:
Można to równoważnie zapisać jako
- [12].
Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów gdzie zbiór indeksów jest niepusty, część wspólną definiuje się jako
co jest równoważne
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Niech będzie zbiorem liczb naturalnych, a niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.
- ale
- Niech będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek Wówczas
Własności
[edytuj | edytuj kod]Operacje skończone
[edytuj | edytuj kod]Dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące równości:
- [2] (łączność),
- [2] (przemienność),
- oraz [15] (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego),
- oraz [16] (prawo De Morgana).
Ponadto,
- wtedy i tylko wtedy, gdy
Operacje nieskończone
[edytuj | edytuj kod]Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech oraz będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów są niepuste. Niech będzie dowolnym zbiorem. Wówczas
Związek z funkcjami
[edytuj | edytuj kod]Dla dowolnej funkcji dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru zachodzą następujące dwa stwierdzenia:
- [20] (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
- [21] (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).
W zbiorze potęgowym
[edytuj | edytuj kod]Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego (tzw. uniwersum) oraz jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru to
jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór jest elementem neutralnym operacji części wspólnej
Zapis
gdy (tzn. gdy jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[22].
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ iloczyn zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-09-06] .
- ↑ a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 15.
- ↑ Kuratowski 1980 ↓, s. 19.
- ↑ Kuratowski 1980 ↓, s. 20.
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 7.
- ↑ Leitner 1999 ↓, s. 39.
- ↑ Ross i Wright 1996 ↓, s. 25.
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 18.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 21.
- ↑ Ross i Wright 1996 ↓, s. 27.
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 46.
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 47.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 53.
- ↑ Kuratowski 1980 ↓, s. 43.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 17.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 19.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 56.
- ↑ a b Rasiowa 1975 ↓, s. 55.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 58.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 81.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 78.
- ↑ Guzicki i Zakrzewski 2005 ↓, s. 33.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
- Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
- Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów. Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3.
- Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
- Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.