Dwójkowy system liczbowy lub też system binarny (NKB – naturalny kod binarny) – pozycyjny system liczbowy, którego podstawą jest liczba 2, a do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1[1].
Historia
[edytuj | edytuj kod]Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b[2]. Ojcem nowoczesnego systemu binarnego nazywany jest Gottfried Wilhelm Leibniz[3], autor opublikowanego w 1703 roku artykułu Explication de l’Arithmétique Binaire.
Zastosowanie
[edytuj | edytuj kod]Jest używany w matematyce, informatyce i elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów do dwóch, pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych[3].
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu.
Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks, np.
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Na przykład liczby dziesiętne o podstawie 2 można zapisać jako:
ułamek zwykły:
(nawiasem oznaczono okres ułamka).
Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe w każdym systemie pozycyjnym:
w systemie dziesiętnym |
w systemie dwójkowym |
---|---|
1 | 1 |
2 | 10 |
3 | 11 |
4 | 100 |
5 | 101 |
6 | 110 |
7 | 111 |
8 | 1000 |
9 | 1001 |
10 | 1010 |
Zamiany systemu
[edytuj | edytuj kod]Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji – na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8 itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli:
Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
- reszty 0 – 0 to cyfra jedności,
- reszty 1 – 1 to cyfra drugiego rzędu,
- reszty 1,
- reszty 1,
- reszty 1.
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby, przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc
Działania na liczbach w systemie dwójkowym
[edytuj | edytuj kod]Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach:
Przykład dodawania w systemie dwójkowym.
111111
1111111
+ 10011
10010010
Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:
1111111 - 10011 1101100
A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:
11101 - 10110 00111
(zera z lewej strony można wykreślić).
Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- skośny system dwójkowy
- zegar binarny
- ósemkowy system liczbowy
- szesnastkowy system liczbowy
- dziesiętny system liczbowy
Pochodne kodowania liczb całkowitych:
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ dwójkowy system liczbowy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30] .
- ↑ Human choice and computers, 2002, ISBN 1-4020-7185-X .
- ↑ a b Edward Kofler, Z dziejów matematyki, Warszawa: Wiedza Powszechna, 1956, s. 27 .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- José Américo N L F de Freitas, How exactly does binary code work? (ang.), kanał TED-Ed na YouTube, 12 lipca 2018 [dostęp 2024-08-29].