Spis treści
Funkcja ciągła
Funkcja ciągła – funkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako:
- funkcję, w której mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji; inaczej mówiąc, dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą blisko,
- funkcję rzeczywistą (określoną na zbiorze lub jego podprzedziale), której wykresem jest ciągła linia, tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru.
Funkcja, która ma co najmniej jeden punkt nieciagłości, nazywana jest nieciagłą[1]. Tzw. funkcja ze skokami po raz pierwszy została nazwana nieciagłą (ang. discontiguous) przez Arbogasta w 1791, który badał geometryczne rozwiązania równań różniczkowych[2].
Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topologii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych. To ujęcie jest jednocześnie bardzo proste i pozwala jednolicie potraktować przypadki nieskończoności (bardzo potrzebne przy pojęciu granicy funkcji i granicy ciągu):
Zbiór staje się przestrzenią topologiczną, gdy dla każdego jego elementu określimy rodzinę otoczeń tego elementu – podzbiorów Musi ona spełniać pewne warunki.
Najczęściej spotykamy się z takimi przestrzeniami topologicznymi, których topologia jest wyznaczona przez metrykę, czyli sposób określania odległości punktów tej przestrzeni. Wtedy za otoczenia punktu przyjmuje się kule o środku w tym punkcie i dodatnim promieniu. Standardowo przyjmuje się kule otwarte, ale użycie kul domkniętych prowadzi do tej samej topologii. Natomiast gdyby dopuścić kule domknięte o promieniu 0, otrzymalibyśmy tzw. topologię dyskretną, na ogół inną od wprowadzonej przez metrykę.
Inaczej jest z nieskończonościami – tu nie określamy otoczeń przez metrykę: otoczeniami elementu w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych są przedziały dla dowolnych otoczeniami elementu są przedziały dla dowolnych (ciekawe są otoczenia dla ).
Niech będą dane zbiory i zawarte w przestrzeniach topologicznych, i funkcja
Definicja (topologiczna): Funkcja jest ciągła w punkcie jeśli
symbole i to kwantyfikatory.
Definicja: Funkcja jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w zbiorze Funkcja jest ciągła w zbiorze zawartym w jej dziedzinie jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
W dalszym ciągu podajemy bardziej tradycyjne ujęcia i pokazujemy, że definicje Cauchy’ego są równoważne powyższym.
Ciągłość funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej
[edytuj | edytuj kod]Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości[3]:
- Cauchy’ego – podana przez Augustina Louisa Cauchy’ego[4], nazywana też epsilonowo-deltową z racji używania liter oraz w definicji;
- Heinego – podana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową.
Niech oraz
Definicje
[edytuj | edytuj kod]Definicja Cauchy’ego
[edytuj | edytuj kod]Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy gdy:
Definicja ta jest równoważna topologicznej: warunek oznacza, że należy do kuli otwartej o środku i promieniu (czyli do otoczenia ). Warunek oznacza, że należy do kuli otwartej o środku i promieniu (czyli do otoczenia ). Tak więc zapis oznacza wybranie otoczenia a zapis oznacza dobranie do niego otoczenia (zamiast pisać Cauchy pisze ( pełni rolę ), a warunek przynależności do przenosi do poprzednika implikacji).
Definicja Heinego
[edytuj | edytuj kod]Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczb z który jest zbieżny do ciąg wartości jest zbieżny do czyli
Jeżeli funkcja spełnia jeden z powyższych warunków dla każdego to jest ona ciągła na zbiorze odpowiednio w sensie Cauchy’ego lub w sensie Heinego.
Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeżeli jest ciągła na całej swojej dziedzinie.
Uwagi do definicji
[edytuj | edytuj kod]Z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie ściśle związane są odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie.
Zgodnie z powyższą definicją każda funkcja jest ciągła w punkcie izolowanym, tj. nie będącym punktem skupienia zbioru
Związanie z trzecim kwantyfikatorem we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy’ego dwóch zmiennych z danego zbioru
prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej[a].
Obie definicje (Cauchy’ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.
Ciągłość jednostronna
[edytuj | edytuj kod]Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy’ego należy dodać warunek dla mianowicie aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Rozpatrujemy funkcje
- Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji ).
- Funkcja dana wzorem
- jest ciągła.
- Funkcja skokowa Heaviside’a jest ciągła prawie wszędzie – we wszystkich punktach dziedziny poza zerem:
- Funkcja Dirichleta jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny).
- Funkcja jest ciągła wyłącznie w punkcie
- Funkcja jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny.
- Funkcja Riemanna jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
- Jeżeli funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty, jest ciągła, to na dziedzinie:
- jest jednostajnie ciągła,
- przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa o kresach),
- ma własność Darboux (zob. twierdzenie Darboux).
Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych i unormowanych
[edytuj | edytuj kod]Definicje
[edytuj | edytuj kod]W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy’ego, zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.
Dla przestrzeni metrycznych oraz funkcja jest ciągła w punkcie jeśli prawdziwe jest zdanie
Powyższą implikację można zapisać również w postaci
- albo
gdzie oznaczają kule otwarte odpowiednio w oraz oznaczają środek i promień kuli (analogicznie jest dla kuli ).
Odpowiednikiem definicji ciągłości funkcji w sensie Heinego jest:
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Dwuargumentowe działania algebraiczne zdefiniowane dla
Zbiór liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną w metryką
zbiór par liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną w metryką
gdzie oznacza moduł liczby zespolonej. - Jednoargumentowe działanie algebraiczne zdefiniowane dla
- Jednoargumentowe działanie zdefiniowane dla
- Metryka naturalna na sferze zdefiniowana formalnie jako czyli jako kąt między niezerowymi wektorami
Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych
[edytuj | edytuj kod]Definicja
[edytuj | edytuj kod]Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii[5].
Niech oraz będą przestrzeniami topologicznymi.
Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeżeli dla każdego otoczenia punktu istnieje otoczenie punktu takie, że jego obraz zawiera się w (patrz rysunek obok).
Jeśli przestrzenie są metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy’ego podaną wyżej.
Badanie ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymi
[edytuj | edytuj kod]W topologii często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z jednej przestrzeni topologicznej w inną. Niech i będą przestrzeniami topologicznymi oraz
Aby sprawdzić ciągłość funkcji nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni.
- Można zbadać dla pewnej bazy tej przestrzeni: funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty, tj. należy do topologii
- Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:
- przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w jest domknięty w
- dla każdego zbioru spełniony jest warunek
gdzie oznacza domknięcie zbioru - dla każdego zbioru spełniony jest warunek
Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej, tzn. jeżeli jest funkcją ciągłą oraz ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz
Jeśli zbiór jest gęsty w a są ciągłe oraz dla każdego to
Przestrzeń funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi
[edytuj | edytuj kod]Przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z przestrzeni topologicznej w inną przestrzeń jest oznaczana symbolem Przestrzeń ta jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.
Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z w i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni
Na przestrzeni rozważa się także strukturę topologiczną, wprowadzając topologie:
- zbieżności punktowej
- zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie
- zbieżności jednostajnej
- w której bazą otoczeń punktu jest gdzie
Ciągłość funkcji w terminach teoriomnogościowych
[edytuj | edytuj kod]Niech oraz będą porządkami zupełnymi.
Funkcja jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn. dla dowolnego podzbioru skierowanego zachodzi
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- funkcja jednostajnie ciągła
- funkcja różniczkowalna
- punkt odosobniony
- warunek Höldera
- warunek Lipschitza
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Należy zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorach:
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ funkcja nieciągła, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-03-13] .
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 165.
- ↑ funkcja ciągła, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-02-07] .
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 161.
- ↑ Trajdos 1993 ↓, s. 332.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- T. Trajdos: Matematyka. Cz. III. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993, seria: Podręczniki akademickie.
- Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
Literatura dodatkowa
[edytuj | edytuj kod]- Ryszard Engelking: Topologia ogólna, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
- Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 4, Warszawa: PWN, 1966.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Marta Szumańska , Ciągłość, „Delta”, kwiecień 2019, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19] .
- Eric W. Weisstein , Continuous Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-02-07].
- Continuous function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-07].
- William L. Hosch, continuity (ang.), Britannica Online, 18 stycznia 2023 [dostęp 2023-02-07].