Funkcja kardynalna – funkcja, której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.
Funkcje kardynalne są jednym z najbardziej widocznych połączeń teorii mnogości z innymi dziedzinami matematyki. Dostarczają one wygodnego języka do opisu różnych własności obiektów matematycznych i są również interesującym obiektem badań samym w sobie.
- Najczęściej spotykaną funkcją kardynalną jest funkcja moc zbioru, która dla zbioru
przyporządkowuje jego moc 
- Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech
będzie takim ideałem podzbiorów zbioru
który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:




- Dla praporządku
określa się liczbę nieograniczoną
oraz liczbę dominującą
tego praporządku przez


Funkcje kardynalne są szeroko używane w topologii, gdzie są bardzo wygodnym narzędziem w opisie własności przestrzeni topologicznych[1][2]. Na przykład rozważa się następujące funkcje kardynalne:
- Ciężar przestrzeni
to
jest bazą topologii na 
- Gęstość przestrzeni
to 
- Celularność przestrzeni
to
jest rodziną parami rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów 
- Ciasność przestrzeni
w punkcie
to

- i ciasność przestrzeni
to 
- Rozciągłość przestrzeni
to
z topologią podprzestrzeni jest przestrzenią dyskretną
Funkcje kardynalne są często używanym narzędziem do opisu i badania algebr Boole’a[3][4]. Rozważa się, na przykład, następujące funkcje:
- Celularność
algebry Boole’a
jest to supremum mocy antyłańcuchów w 
- Długość
algebry Boole’a
to
jest łańcuchem
- Głębokość
algebry Boole’a
to
jest dobrze uporządkowanym łańcuchem
- Nieporównywalność
algebry Boole’a
to
oraz 
- Pseudociężar
algebry Boole’a
to
oraz 
Funkcje kardynalne w algebrze są mniej wyeksponowane, niemniej jednak są one tam obecne. Przykładami takich funkcji są:
- Wymiar przestrzeni liniowej
nad ciałem
- Dla modułu wolnego
nad pierścieniem przemiennym
wprowadza się rangę
jako moc dowolnej bazy wolnej tego modułu.
- Dla podprzestrzeni
przestrzeni liniowej
rozważa się kowymiar tej przestrzeni (względem
).
- Dla (przemiennej) grupy nieskończenie podzielnej
rozważa się rangi
i
(dla wszystkich liczb pierwszych
) dane przez rozkład
![{\displaystyle G=\left(\bigoplus \limits _{p\in \mathbb {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(\nu _{p}(G))}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(\nu _{0}(G))}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ed20a115c7c18f71cecb4517e927afd0ee1c73)
- (Powyżej,
jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych,
jest grupą addytywną liczb wymiernych, a
jest grupą
-quasi cykliczną).
- Dla przestrzeni Banacha
rozważa się zbiory Enflo-Rosenthala (tzw. ER-zbiory) będące uogólnieniami bazy Schaudera. (Zbiór
jest zbiorem Enflo-Rosenthala jeśli każdy jego przeliczalny podzbiór może być uporządkowany tak, że stanowi ciąg bazowy oraz każdy element
jest granicą ciągu skończonych kombinacji elementów
). Minimalne moce ER-zbiorów są (oczywiście) funkcjami kardynalnymi na przestrzeniach Banacha dopuszczających istnienie takich zbiorów[5].
- ↑ Juhász, István: Cardinal functions in topology. „Mathematical Centre Tracts”, nr 34. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1971.
- ↑ Juhász, István: Cardinal functions in topology – ten years later. „Mathematical Centre Tracts”, 123. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980. ISBN 90-6196-196-3.
- ↑ Monk, J. Donald: Cardinal functions on Boolean algebras. „Lectures in Mathematics ETH Zürich”. Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. ISBN 3-7643-2495-3.
- ↑ Monk, J. Donald: Cardinal invariants on Boolean algebras. „Progress in Mathematics”, 142. Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-5402-X.
- ↑ Singer, Ivan: Bases in Banach spaces. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucharest; Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981, s. 571–603, ISBN 3-540-10394-5.