Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Funkcję nazywamy odwracalną w gdy istnieje funkcja taka, że[1]:
- dla każdego
- dla każdego
Innymi słowy jest taką funkcją, że złożenia oraz są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze i Funkcję nazywamy funkcją odwrotną do i oznaczamy symbolem
Bezpośrednio z definicji wynika, że jest funkcją odwracalną w wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).
Oznaczenia nie należy mylić z symbolem
Istnienie
[edytuj | edytuj kod]Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.
Twierdzenie
- Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.
Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.
Wyznaczanie
[edytuj | edytuj kod]Wyznaczenie funkcji odwrotnej do danej polega na rozwiązaniu równania
względem niewiadomej Rozwiązanie, czyli
to poszukiwana funkcja odwrotna.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL[2])
- Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
- Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem jest funkcja
- Funkcja nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem dla nie jest funkcją odwrotną do funkcji
- Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem dla jest ona sama, tzn. (zob. Inwolucje).
Własności
[edytuj | edytuj kod]Jednoznaczność
[edytuj | edytuj kod]Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.
Symetria
[edytuj | edytuj kod]Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do jest to odwrotną do jest funkcja Symbolicznie:
Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:
Odwrotność złożenia
[edytuj | edytuj kod]Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem
Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku i aby odwrócić działanie następującego po należy najpierw odwrócić a następnie odwrócić
Inwolucje
[edytuj | edytuj kod]Jeżeli jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na jest swoją własną odwrotnością:
Ogólniej, jeżeli funkcja jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie jest równe Takie funkcje nazywa się inwolucjami.
Zachowywane własności
[edytuj | edytuj kod]- Funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej jest monotoniczna: odwrotna do rosnącej jest rosnąca, zaś odwrotna do malejącej jest malejąca.
- Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest ciągła.
- Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których w szczególności
- Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych (o równaniu ) jest symetryczny do wykresu funkcji odwrotnej do niej (o równaniu ) względem prostej [1].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b funkcja odwrotna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-07-26] .
- ↑ Przez pomyłkę nadano kilku tysiącom osób ten sam numer PESEL. wiadomosci.wp.pl. [dostęp 2017-11-08]. (pol.).
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Piotr Stachura, Funkcja odwrotna, kanał Khan Academy na YouTube, 29 stycznia 2024 [dostęp 2024-07-26].
- Paweł Lubowiecki, Odwzorowania cz. III Funkcja odwrotna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
- Eric W. Weisstein , Inverse Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
- Inverse function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].