Spis treści
Funkcja wykładnicza
Funkcja wykładnicza, funkcja eksponencjalna[1] – dwojako definiowany typ funkcji matematycznej:
- w sensie szerokim jest to dowolna funkcja postaci gdzie [2]. Liczba – podstawa tej potęgi – jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej;
- w sensie wąskim jest to funkcja opisana powyższy wzorem przy dodatkowym warunku – wyklucza się przypadek kiedy ten wzór daje funkcję stałą[3][4][5].
Dziedziną takich funkcji może być cała oś rzeczywista lub płaszczyzna zespolona W pierwszym wypadku:
- zbiorem wartości jest półoś wszystkich liczb dodatnich – funkcja ta jest ograniczona z dołu, ale nie z góry;
- funkcje te są monotoniczne w całej dziedzinie: dla są rosnące, a dla – malejące[3];
- w związku z powyższymi faktami:
- granicą takich funkcji w jednej z nieskończoności jest zero; oś pozioma jest dla nich asymptotą jednostronną[4] – lewostronną dla funkcji rosnących i prawostronną dla malejących;
- granica w drugiej nieskończoności jest niewłaściwa;
- funkcje te są ciągłe[3], a do tego gładkie i analityczne; ich rozwinięcie w szereg podano w dalszej sekcji;
- wykresy takich funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych są znane jako krzywe wykładnicze[6][4].
Funkcjami wykładniczymi definiuje się inne, np. logarytmy, funkcje hiperboliczne i pośrednio polowe (area), a wzór Eulera opisuje związek funkcji wykładniczych z trygonometrycznymi[7]. Te wszystkie rodziny funkcji są zaliczane do elementarnych[8]. Z funkcji wykładniczych korzystają różne działy matematyki, nauk empirycznych i technicznych[9].
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Funkcja wykładnicza o podstawie jest (przy argumencie dążącym do ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.
- Pochodna funkcji wykładniczej to:
- dowód jest w artykule: logarytm naturalny.
- W szczególności dla zachodzi:
Eksponens
[edytuj | edytuj kod]Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest ta o podstawie równej – podstawie logarytmu naturalnego. Innym oznaczeniem takiej funkcji jest nazywane krótko eksponensem[10].
Cechą funkcji jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego
przy warunku początkowym
daje wzór na funkcję eksponencjalną:
Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy:
Dziedzina zespolona
[edytuj | edytuj kod]Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:
Jest to funkcja okresowa z okresem i można ją zapisać jako:
gdzie i to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.
Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności
dla wszystkich i
Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.
Przykłady i zastosowania
[edytuj | edytuj kod]Matematyka
[edytuj | edytuj kod]- Notacja wykładnicza do zapisywania dużych liczb. Nazwy dużych liczb (większych niż miliard) są niewygodne w użyciu i różnią się między krajami, prowadząc do potencjalnych nieporozumień.
- Funkcja wykładnicza razem z odpowiednim logarytmem pozwala sprowadzać mnożenie i dzielenie do dodawania i odejmowania. To miało znaczenie w czasach tablic i suwaków logarytmicznych, używanych przed rozpowszechnieniem się kalkulatorów.
- Ciąg geometryczny oraz suma szeregu geometrycznego, por. procent składany.
- Ciąg Fibonacciego jest opisany wzorem Bineta zawierającym funkcję wykładniczą. Podobnie jest z każdym ciągiem rekurencyjnym.
- Kombinatoryka: liczba wariacji z powtórzeniami jest wykładniczą funkcją długości ciągu. Przykładowo liczba możliwych haseł jest wykładniczą funkcją jego długości.
- Rozkład normalny jest opisany przez złożenie funkcji wykładniczej z kwadratową.
- Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Poissona zawiera funkcję wykładniczą.
- Funkcje hiperboliczne są zdefiniowane przez funkcję wykładniczą.
- Algorytmika: niektóre problemy mają złożoność wykładniczą.
Fizyka
[edytuj | edytuj kod]- Zależność prędkości od czasu w ruchu z oporem ośrodka jest opisana funkcją wykładniczą: zarówno przy liniowej zależności siły oporu od prędkości (prawo Stokesa), jak i przy zależności kwadratowej.
- Ładowanie i rozładowywanie kondensatora jest opisane wykładniczą funkcją czasu[2]. Analogicznie jest z napięciem i natężeniem prądu w obwodzie prądu stałego z cewką.
- Tłumienie silne oraz krytyczne drgań sprawia, że zmiany są opisane funkcją wykładniczą.
- Rozkład Maxwella w fizyce statystycznej.
- Funkcja wykładnicza pojawia się w rozkładzie Plancka opisującym promieniowanie cieplne ciał.
- Odkryty przez Rutherforda czas połowicznego rozpadu pozwala modelować radioaktywność przez funkcję wykładniczą.
Inne nauki
[edytuj | edytuj kod]- Liczebność populacji w idealnych warunkach rośnie wykładniczo.
- Prawo Moore’a w elektronice i informatyce.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ funkcja eksponencjalna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30] .
- ↑ a b Żakowski 1972 ↓, s. 80.
- ↑ a b c funkcja wykładnicza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30] .
- ↑ a b c Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-11].
- ↑ Fichtenholz 1978 ↓, s. 87.
- ↑ krzywa wykładnicza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11] .
- ↑ Eulera wzory, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11] .
- ↑ funkcje elementarne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11] .
- ↑ Zastosowanie funkcji wykładniczej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-11].
- ↑ eksponens, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11] .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
- Wojciech Żakowski: funkcja wykładnicza, [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Polskojęzyczne
- Funkcja wykładnicza – wykładniczy wzrost i zanik, kanał Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-04-11].
- Anglojęzyczne
- Eric W. Weisstein , Exponential Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-04-11].
- Eric W. Weisstein , Natural Exponential Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-04-11].
- Exponential function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].