Spis treści
Hipersfera
Hipersfera (gr. υπερ hyper „nad, ponad” i σφαῖρα sphaîra „kula, piłka”) – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.
Definicja formalna
[edytuj | edytuj kod]Dla dowolnej liczby naturalnej hipersfera o promieniu jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej, które znajdują się w odległości od wybranego punktu środkowego gdzie jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni -wymiarowej[1]:
Jest to -wymiarowa rozmaitość w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej[1]. W szczególności:
- hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka[2],
- hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie[3],
- hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej, powierzchnia klasycznej kuli[4],
- hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywa się sferą jednostkową i oznacza [5]. Sfera -wymiarowa stanowi brzeg kuli -wymiarowej. Dla hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.
Współrzędne
[edytuj | edytuj kod]Zbiór punktów w przestrzeni -wymiarowej który tworzy hipersferę, opisuje równanie
gdzie:
- – punkt środkowy,
- – promień.
Hiperkula
[edytuj | edytuj kod]Przestrzeń ograniczoną przez hipersferę nazywa się -wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta, jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta, jeśli jej nie zawiera. W szczególności:
Rozmiar
[edytuj | edytuj kod]Objętość wnętrza
[edytuj | edytuj kod]Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę -wymiarową o promieniu który jest hiperkulą -wymiarową, ma postać:
gdzie jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi
w którym to funkcja Γ.
Wzór na współczynnik upraszcza się, gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych[6]
i nieparzystych[6]
Wymiar n |
Współczynnik |
Dziesiętne przybliżenie |
Klasyczna interpretacja |
---|---|---|---|
0 | 1,00000 | punkt | |
1 | 2,00000 | długość odcinka | |
2 | 3,14159 | pole koła | |
3 | 4,18879 | objętość kuli | |
4 | 4,93480 | ||
5 | 5,26379 | ||
6 | 5,16771 | ||
7 | 4,72478 | ||
8 | 4,05871 |
Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów rozmiar zaczyna maleć, zmierzając do zera w nieskończoności
Powierzchnia
[edytuj | edytuj kod]Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery -wymiarowej można uzyskać, obliczając pochodną objętości hiperkuli -wymiarowej względem promienia[7]
gdzie podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi
Wymiar n-1 |
Współczynnik |
Dziesiętne przybliżenie |
Klasyczna interpretacja |
---|---|---|---|
–1 | 0,00000 | ||
0 | 2,00000 | liczba punktów tworzących sferę | |
1 | 6,28318 | długość okręgu | |
2 | 12,56637 | powierzchnia kuli | |
3 | 19,73920 | ||
4 | 26,31894 | ||
5 | 31,00627 | ||
6 | 33,07336 | ||
7 | 32,46969 |
Wśród hipersfer jednostkowych największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności
Wymiary ułamkowe
[edytuj | edytuj kod]Wzory na i można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli, gdy nie jest dodatnią liczbą całkowitą.
Współrzędne hipersferyczne
[edytuj | edytuj kod]Analogicznie do współrzędnych sferycznych, w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni -wymiarowej, w których składowymi są promień i współrzędnych kątowych gdzie zawiera się w przedziale a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale
Jeśli przez oznaczy się współrzędne kartezjańskie, to ich wartości można wyznaczyć jako:
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b Gryszka 2018 ↓, s. 9.
- ↑ Treisman 2009 ↓, s. 11.
- ↑ Treisman 2009 ↓, s. 12.
- ↑ Treisman 2009 ↓, s. 14.
- ↑ Treisman 2009 ↓, s. 10.
- ↑ a b Gryszka 2018 ↓, s. 10.
- ↑ Gryszka 2018 ↓, s. 11.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Karol Gryszka , Anomalie kul i kostek, „Delta”, październik 2018 [dostęp 2018-11-25] .
- Zachary Treisman , A young person’s guide to the Hopf fibration, „arXiv”, 9 sierpnia 2009, arXiv:0908.1205 .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Exploring Hyperspace with the Geometric Product (ang.)
- Eric W. Weisstein , Hypersphere, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).