Liczby całkowite Eisensteina (nazywane także liczbami Eisensteina-Jacobiego) – liczby postaci gdzie i są liczbami całkowitymi,
oraz jest jednostką urojoną. jest pierwiastkiem zespolonym równania [1][2]. Zarówno suma, różnica, jak i iloczyn liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one pierścień. Pierścień ten jest euklidesowy z normą daną wzorem
- [3].
W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.
Na płaszczyźnie zespolonej liczby całkowite Eisensteina są węzłami regularnej sieci trójkątnej (złożonej z trójkątów równobocznych, jak na rysunkach poniżej).
Zbiór liczb pierwszych Eisensteina jest (z dokładnością do mnożenia przez niżej wspomniane elementy odwracalne) sumą dwóch zbiorów:
- zbioru liczb takich że jest liczbą pierwszą, taką że oraz
- zbioru liczb takich że jest taką liczbą pierwszą że

Grupa elementów odwracalnych pierścienia liczb całkowitych Eisensteina jest sześcioelementowa i składa się z liczb:
Na płaszczyźnie zespolonej można ją zinterpretować jako grupę obrotów dokoła początku układu współrzędnych generowaną przez obrót o 60° (na przykład w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara). Wynika stąd, że liczb pierwszych Eisensteina wystarczy szukać wewnątrz jakiegokolwiek kąta o mierze 60° o wierzchołku w punkcie 0 (np. kąta, którego pierwsze ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a drugie ramię przechodzi przez punkt ).
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]
- Liczbami pierwszymi Eisensteina są następujące liczby naturalne: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101.
- Liczbami pierwszymi Eisensteina nie są liczby 3 ani 7, bo
- Liczbami pierwszymi Eisensteina są liczby
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Шнирелман Л.Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940, s. 29–36.
- Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982, s. 24–28.
Literatura dodatkowa
[edytuj | edytuj kod]- John Horton Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer Verlag, 1996, s. 221–225. ISBN 0-387-97993-X, ISBN 978-0-387-97993-9.
- Боревич З.И., Шафаревич И.Р.: Teopия чисeл. Наука, 1985, s. 149–190.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Eisenstein Integer, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).