Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące wymiernymi, czyli niebędące ilorazami liczb całkowitych[1][2], czasem oznaczane różnicą zbiorów: [3]. Przykłady to:
- pierwiastek kwadratowy z dwóch ();
- inne pierwiastki arytmetyczne z liczb naturalnych niebędące liczbami naturalnymi, np. [potrzebny przypis];
- liczba pi (π)[4];
- podstawa logarytmu naturalnego (e)[5];
- stała Gelfonda-Schneidera ;
- [6];
- [6];
- stała Apéry’ego [3].
Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe[1]. Przez to przykładem liczby niewymiernej jest też 0,123456789101112131415... – konkatenacja zapisów dziesiętnych kolejnych liczb naturalnych[potrzebny przypis].
Dzieje badań
[edytuj | edytuj kod]Najstarsze opisy niewymierności pochodzą ze starożytnej Grecji[1], konkretniej od Pitagorejczyków, którzy wykazali niewymierność liczby [3]. Zauważyli oni, że przekątna kwadratu o boku 1, możliwa do obliczenia twierdzeniem Pitagorasa, jest niewspółmierna z bokiem[potrzebny przypis]. Potem udowodniono niewymierność innych stałych[3]:
stała | dowód niewymierności | |
---|---|---|
data | autor | |
e | 1737 | Leonhard Euler |
π | 1760 | Johann Heinrich Lambert |
1979 | Roger Apéry |
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Zbiór liczb niewymiernych jest gęsty i nieprzeliczalny[7].
- Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może być wymierna. Inaczej, istnieją takie liczby niewymierne i że liczba jest wymierna. Przykłady to[6]:
- O własnościach niektórych potęg z niewymiernymi wykładnikami mówi twierdzenie Gelfonda-Schneidera[6].
- Liczba niewymierna do potęgi wymiernej może być wymierna lub nie: .
- Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne[8].
- Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych dając w efekcie przestrzeń zupełną[potrzebny przypis].
- Jako podprzestrzeń linii prostej zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji [potrzebny przypis].
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- usuwanie niewymierności z mianownika
- dowód niekonstruktywny
- twierdzenie Gelfonda-Schneidera
- liczba przestępna
- niewspółmierność interteoretyczna
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c Liczby niewymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-23] .
- ↑ Liczby niewymierne [online], www.matemaks.pl [dostęp 2023-07-17] .
- ↑ a b c d Eric W. Weisstein , Irrational Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-11-23].
- ↑ pi, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-23] .
- ↑ e, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-23] .
- ↑ a b c d Marek Kordos, Intuicjonizm i to, co po nim, „Delta”, kwiecień 2017, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-11-23] .
- ↑ Irrational number (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-11-23].
- ↑ Andrzej Schinzel , Ułamki łańcuchowe, „Delta” (5/1979), Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 1979, s. 1-3, ISSN 0137-3005 (pol.).
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Ganesh Pai, Making sense of irrational numbers (ang.), kanał TED-Ed na YouTube, 23 maja 2016 [dostęp 2024-08-22].
- Can We Combine pi & e to Make a Rational Number?, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 13 kwietnia 2017 [dostęp 2024-08-29].