Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb liczba oznaczana będąca rozwiązaniem równania Taka definicja logarytmu została zdefiniowana przez Eulera[1]. Liczba nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę aby otrzymać liczbę logarytmowaną [2].
Przykłady
- gdyż
- gdyż
Logarytmy po raz pierwszy opisali w XVI wieku matematycy brytyjscy: Szkot John Napier i Anglik Henry Briggs. Były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Natomiast Euler był pierwszym matematykiem, który przedstawił logarytmy liczb zespolonych[3]. Historycznie praca Eulera na ten temat była pierwszą analizą funkcji przestępnej więcej niż jednej zmiennej[3].
Pozwalały zastąpić mnożenia, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.
Logarytm przy ustalonej podstawie pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną następująco:
Definicja formalna
[edytuj | edytuj kod]Logarytm jest działaniem zewnętrznym: zdefiniowanym równoważnością:[4]
(zamiast stosuje się symbolikę ).
Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn.
- dla każdych istnieje liczba rzeczywista
Jest też odwrotnie:
- dla dowolnej liczby i dowolnej liczby istnieje dokładnie jedna liczba taka, że
- dla dowolnej liczby i dowolnej liczby istnieje dokładnie jedna liczba taka, że
Oznacza to, że przy ustalonym lub ustalonym działanie jest różnowartościową suriekcją na zbiór
Logarytm binarny
[edytuj | edytuj kod]Logarytm o podstawie równej 2.
Logarytm naturalny
[edytuj | edytuj kod]Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą równą w przybliżeniu Zwyczajowo zamiast pisze się Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej dla której postaci
wtedy jej pochodna (również formalna) co oznacza, że zamiast ponieważ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.
Logarytm dziesiętny
[edytuj | edytuj kod]Zapis bez indeksu albo oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10[4]:
Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.
Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym np.
Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:
Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie należy użyć logarytmu o podstawie
Własności
[edytuj | edytuj kod]Znaki liczby w zależności od wartości
Wprost z definicji logarytmu wynika:
Z własności potęgi wynikają następujące równości:[4]
(1) |
(2) |
Wnioskiem z powyższych jest następująca równość nazywana wzorem na zmianę podstawy logarytmu:[4]
- albo
stąd przyjmując
- albo w szczególności
Z powyższych własności można wykazać m.in. równości
Dowody niektórych własności
[edytuj | edytuj kod]Wzór (1): Niech Stąd, zgodnie z definicją, Mnożąc stronami obie równości Ponieważ więc Czyli Stąd teza.
Wzór (2): Niech Stąd, zgodnie z definicją, Podnosząc obie strony do potęgi Ponieważ więc Czyli Stąd teza.
Pozostałe wzory tej sekcji łatwo wynikają z dwóch udowodnionych tu równości.
Logarytm liczby zespolonej
[edytuj | edytuj kod]Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:
(1) |
gdzie:
- jest dowolną liczbą całkowitą,
- jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
- to argument liczby zespolonej
- to argument główny.
W szczególności dla liczb zespolonych:
Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych Przyjmując otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: Inni przeciwnie – wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną[5]. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.
Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:
gdzie:
- i są liczbami zespolonymi,
- i są dane wzorem (1).
Oczywiście zbiór wartości jest podwójnie indeksowany.
Kologarytm
[edytuj | edytuj kod]Liczbę przeciwną do logarytmu z nazywało się niegdyś kologarytmem [6] i oznaczało lub Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.
Logarytm dyskretny
[edytuj | edytuj kod]Logarytm dyskretny elementu (przy podstawie ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):
Przykłady i zastosowania
[edytuj | edytuj kod]Matematyka
[edytuj | edytuj kod]- Skala logarytmiczna na wykresach – czasami rozpiętość przedstawianych wielkości jest tak duża, że nie wystarczy podziałka liniowa; por. Diagram HR w astronomii.
- Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Dlatego przydaje się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się równanie wykładnicze – np. do przewidzenia liczby rat kredytu albo czasu, kiedy rozpad promieniotwórczy doprowadzi do danego stężenia pierwiastka.
- Regresja liniowa: jeśli oczekiwana zależność między danymi jest potęgowa lub wykładnicza, to analizuje się liniową zależność między ich logarytmami.
- Prawo iterowanego logarytmu w probabilistyce,
- Wymiar Hausdorffa fraktali w topologii i teorii miary,
- Asymptotyczne wzrost funkcji pi w teorii liczb,
- W teorii informacji Claude Shannon wyraził entropię informacji przez logarytmy odpowiednich prawdopodobieństw.
- Algorytmika: wiele procedur ma złożoność logarytmiczną (np. wyszukiwanie binarne) lub liniowo-logarytmiczną, np. wiele algorytmów sortowania,
- Opis spirali logarytmicznej występującej w naturze,
Inne dziedziny
[edytuj | edytuj kod]- Skala pH w chemii,
- skala Richtera w sejsmologii,
- Poziom natężenia dźwięku jest logarytmiczną funkcją natężenia dźwięku,
- Wysokość dźwięku jest logarytmiczną funkcją jego częstotliwości,
- Prawo Webera-Fechnera w psychologii i fizjologii percepcji,
- Prawo Fittsa w ergonomii,
- Jasność absolutna w astronomii,
- Logarytmiczny dekrement tłumienia w fizyce, np. w akustyce oraz w elektrotechnice,
- W fizyce statystycznej Ludwig Boltzmann wyraził entropię przez logarytm objętości w przestrzeni fazowej. Uogólnił w ten sposób makroskopową definicję entropii Clausiusa,
- Rozkład Benforda w statystyce i ekonomii,
- Wzór Ciołkowskiego opisujący ruch rakiety.
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Ten wzór pozwala zastosować logarytm do obliczania dowolnych potęg Jest to przydatne na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 115.
- ↑ Logarytm, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .
- ↑ a b Jahnke 2003 ↓, s. 117.
- ↑ a b c d Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0 .
- ↑ Miś 1989 ↓, s. 255.
- ↑ kologarytm [w:] Słownik języka polskiego [online], PWN [dostęp 2024-04-05].
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989. ISBN 978-83-204-3364-7.
- Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Logarithm of a number (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
- Steve Kelly, Logarithms, Explained (ang.), kanał TED-Ed na YouTube, 20 sierpnia 2012 [dostęp 2024-08-22].