Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste.
Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile pochodna ta istnieje.
Nazwy tych pojęć pochodzą od nazwiska niemieckiego matematyka C.G.J. Jacobiego, który je wprowadził, choć niezależnie badał je Michaił Ostrogradski[potrzebny przypis]. Jacobi używał nazwy wyznacznik różniczkowy; termin „jakobian” pochodzi od J.J. Sylvestera (1852)[1].
Założenia:
– podzbiór otwarty przestrzeni euklidesowej 
– funkcja wektorowa ze zbioru
w przestrzeń
mająca
funkcji składowych
ze zbioru
na zbiór liczb rzeczywistych,
o zmiennych 
Jeżeli funkcja
ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie
to
(1) macierzą Jacobiego
nazywa się macierz, której elementami
są funkcje
tj. pochodne funkcji po poszczególnych zmiennych mającą postać

tj.
Pierwszy wiersz tej macierzy stanowią pochodne pierwszej funkcji po poszczególnych zmiennych
itd.
(2) Macierz Jacobiego można przedstawić w postaci wektora kolumnowego, którego współrzędnymi są gradienty
funkcji
tworzących funkcję
tzn.

(3) Macierz Jacobiego można również przedstawić jako iloczyn tensorowy operatora nabla
i funkcji
zapisanej w postaci kolumny, tj.

gdzie
– kolumna zawierająca składowe funkcji
(
oznacza transpozycję wektora).
Uwaga:
Wartością macierzy Jacobiego
funkcji
w punkcie
nazywa się macierz
której elementami są wartościami poszczególnych elementów macierzy Jacobiego, obliczone w punkcie
tj.
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathrm {x} )\right]_{i,j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3082780bccc66352f68f8380db96015a58bfeb)
Definicja:
- Jakobianem nazywa się wyznacznik (kwadratowej) macierzy Jacobiego.
Jakobian oznacza się symbolami[2]:
Dla funkcji
takiej że


jakobian wynosi

Dla funkcji
o 4 funkcjach składowych
tj.




a) macierz Jacobiego ma postać
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41ae424c7bceebfbb02fa49024f5264f0ff618c)
Przykład ten pokazuje, że macierz Jacobiego nie musi być kwadratowa.
b) Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.
Dla funkcji o składowych



jakobian ma wartość

Gdy znak jakobianu jest ujemny, to funkcja
zmienia orientację (jest tak w otoczeniu punktów, które mają ten sam znak); funkcja jest lokalnie odwracalna dla punktów
- Element powierzchni w starych współrzędnych = element powierzchni w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.
Transformacja ze współrzędnych biegunowych
do kartezjańskich
dana jest z pomocą funkcji
o 2 funkcjach składowych


a) Macierz Jacobiego ma postać
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f431e5f3e3fb3d4f2ed4b21118d512924a61b0)
b) Jakobian

c) Różniczkowy element powierzchni
Jakobianu można użyć do zamiany zmiennych całkowania z układu kartezjańskiego na biegunowy, np.

- Element objętości w starych współrzędnych = element objętości w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.
Przejście ze współrzędnych sferycznych
na kartezjańskie
dane jest za pomocą funkcji
o 3 funkcjach składowych



a) Macierz Jacobiego ma postać
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147a423f1896efaaeba5db35b256bbdfd226b1f3)
b) Wyznacznik tej macierzy wynosi

Widać, że jakobian zmienia się w zależności od współrzędnych
c) Różniczkowy element objętości
W układzie kartezjańskim element różniczkowy objętości ma postać

Przechodząc do układu współrzędnych sferycznych różniczkowy element objętości nie zmieni się, jeżeli pomnoży się go przez jakobian, tj.

Np. wykonując całkowanie funkcji
przy zamianie zmiennych na współrzędne sferyczne należy
- zmienne
wyrazić przez zmienne 
- element objętości
wyrazić przez równy mu element 
(1) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja
jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie
to macierzą przekształcenia liniowego, którym jest jej pochodna Frécheta
jest macierz Jacobiego
funkcji
w punkcie
(2) Macierz Jacobiego jest kwadratowa, gdy pochodna jest endomorfizmem; jeśli jest odwracalna (jej wyznacznik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem. Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła) – mówi się wtedy, że jest ona klasy
(3) Funkcja
nie musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie
by macierz Jacobiego
była określona – wymaga się jedynie istnienia pochodnych cząstkowych funkcji
w punkcie
Oznacza to, że funkcja
jest różniczkowalna co najwyżej w dowolnym kierunku, tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego
istnieją pochodne
(4) Gradient, jak i macierz Jacobiego można traktować jak „pierwsze pochodne” funkcji:
- macierz Jacobiego jest pierwszą pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych,
- gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych (gradient można uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego).
(5) Macierz Jacobiego gradientu nazywana jest macierzą Hessego (hesjan) – jest to w pewnym sensie „druga pochodna” funkcji skalarnej wielu zmiennych.
Macierz Jacobiego ma wszystkie własności macierzy przekształceń liniowych. W szczególności dla funkcji różniczkowalnej w sensie Frécheta za pomocą macierzy Jacobiego można wyrazić takie własności jak twierdzenie o funkcji odwrotnej, czy twierdzenie o funkcji uwikłanej.