Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha[1] lub okrąg Eulera[2] jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są:
- środki boków (na rysunku niebieskie),
- spodki trzech wysokości (czerwone) oraz
- punkty dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum (zielone).
Historia odkrycia
[edytuj | edytuj kod]W 1822 roku Karl Wilhelm Feuerbach, którego nazwiskiem nazywa się czasem okrąg dziewięciu punktów, zauważył, że sześć charakterystycznych punktów trójkąta – środki boków oraz spodki wysokości – leżą na wspólnym okręgu. Odkrycia tego dokonali wcześniej, w 1821 roku, Charles Brianchon i Jean-Victor Poncelet[3]. Jeszcze wcześniej, nad współokręgowością wspomnianych punktów zastanawiali się Benjamin Bevan (1804) i John Butterworth (1807)[3].
Krótko po Feuerbachu, matematyk Olry Terquem niezależnie udowodnił istnienie okręgu i jako pierwszy zauważył, że leżą na nim również środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum. Terquem jako pierwszy użył również nazwy „okrąg dziewięciu punktów”[4].
Dowód
[edytuj | edytuj kod]W trójkącie przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku obok:
- to odpowiednio spodki wysokości opuszczonych z wierzchołków
- to ortocentrum, czyli punkt przecięcia się wysokości w trójkącie,
- to punkty połowiące odcinki
- to punkty połowiące boki trójkąta:
Rozważmy trójkąt i okrąg na nim opisany. Zauważmy, że kąt jest prosty, jako że jest wysokością trójkąta Oznacza to, że odcinek jest średnicą okręgu opisanego na
Z definicji punktów oraz zachodzi
co oznacza, dzięki twierdzeniu twierdzeniu odwrotnemu do twierdzenia Talesa, że
- a zatem i
Analogicznie, ponieważ
więc
Ale a co za tym idzie
co oznacza, że trójkąt także jest prosty, a więc punkty leżą na jednym okręgu.
Podobnie pokazujemy, że oraz a korzystając z tego, że otrzymujemy, że trójkąt także jest prostokątny, co oznacza, że punkty leżą na wspólnym okręgu.
Konstrukcję powtarzamy rozpoczynając od punktów i a następnie od i W ich wyniku otrzymujemy, że każda z piątek punktów
- oraz
jest współokręgowa. Ale na trzech (wspólnych dla piątek) punktach można opisać tylko jeden okrąg, co oznacza, że dziewięć punktów
leży na wspólnym okręgu.
Własności
[edytuj | edytuj kod]Twierdzenie Feuerbacha
[edytuj | edytuj kod]Karl Wilhelm Feuerbach udowodnił, że w dowolnym trójkącie okrąg dziewięciu punktów jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego i zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych[5] . Punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się często punktem Feuerbacha[6].
Inne własności
[edytuj | edytuj kod]- W trójkącie równobocznym spodki wysokości i środki boków pokrywają się, a więc okrąg dziewięciu punktów jest także okręgiem wpisanym w ten trójkąt.
- Środek okręgu dziewięciu punktów leży na tzw. prostej Eulera, dokładnie w połowie odcinka pomiędzy ortocentrum tego trójkąta a środkiem okręgu na nim opisanego[7].
- Promień okręgu opisanego na trójkącie jest dwukrotnie większy od promienia okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta[8]. Wynika to z faktu, że trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta wyjściowego jest od niego dwukrotnie mniejszy.
- Okrąg dziewięciu punktów połowi każdy odcinek łączący ortocentrum tego trójkąta z dowolnym punktem na okręgu opisanym.
- Każdy z trzech środków odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum jest obrazem środków boków trójkąta w symetrii względem środka okręgu dziewięciu punktów.
- Środki wszystkich hiperbol prostokątnych (tj. hiperbol o asymptotach przecinających się pod kątem prostym), które przechodzą przez wierzchołki trójkąta, leżą na okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta[9]. Jest to fakt znany jako twierdzenie stożkowe Feuerbacha.
- Przy oznaczeniach jak wyżej, wszystkie trójkąty o wierzchołkach wybranych z punktów będą miały ten sam okrąg dziewięciu punktów. Jest to prawdziwe dla dowolnego układu ortocentrycznego punktów[10][11].
- Wynika to z prostej symetrii: w trójkącie okrąg dziewięciu punktów musi przechodzić przez środki boków oraz Ale są to również te same punkty (środek jednego boku i środki dwóch odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum), przez które musi przechodzi okrąg dziewięciu punktów w trójkącie
- Wynika z tego od razu, że okręgi opisane na wszystkich czterech trójkątach układu mają ten sam promień.
- Środek okręgu dziewięciu punktów jest centroidem czterech punktów: wierzchołków trójkąta oraz jego ortocentrum.
- W trójkącie środki okręgów: wpisanego i dopisanych tworzą układ ortocentryczny. Okrąg dziewięciu punktów tego układu jest zarazem okręgiem opisanym na trójkącie wyjściowym[12]. Spodki wysokości w układzie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.
- Jeśli dane są cztery punkty które nie tworzą układu ortocentrycznego, to wtedy cztery okręgi dziewięciu punktów trójkątów i przecinają się w jednym punkcie. Sześć pozostałych punktów przecięć czterech okręgów pokrywa się ze środkami boków trójkątów.
- Ponadto istnieje dokładnie jedna stożkowa, o środku w centroidzie czterech punktów która przechodzi przez wszystkie siedem punktów przecięć czterech okręgów dziewięciu punktów.
- Co więcej, na podstawie stożkowego twierdzenia Feuerbacha istnieje dokładnie jedna krzywa stożkowa prostokątna, zwana hiperbolą Kieperta o środku w przecięciu czterech okręgów dziewięciu punktów, która przechodzi przez wszystkie cztery punkty jak i również przez ortocentra czterech powyższych trójkątów[9].
- Jeśli cztery punkty tworzą czworokąt, który da się wpisać w okrąg, to okręgi dziewięciu punktów trójkątów i przecinają się w punkcie zwanym antycentrum tego czworokąta[13][14].
- Jako że okrąg, w który wpisany jest czworokąt jest również okręgiem opisanym na każdym z trójkątów powyżej, każdy z okręgów dziewięciu punktów tych trójkątów będzie miał taki sam promień, wynoszący połowę długości promienia okręgu opisanego.
- Okręgi dziewięciu punktów są zbiorem tzw. okręgów Johnsona. Środki tych okręgów są współokręgowe i leżą na okręgu o takim samym promieniu, jak okręgi dziewięciu punktów, o środku w antycentrum czworokąta wpisanego. Co więcej, czworokąt utworzony ze środków czterech okręgów dziewięciu punktów jest obrazem wyjściowego czworokąta w jednokładności o skali i środku w punkcie dzielącym odcinek pomiędzy środkiem okręgu opisanego i antycentrum tak, aby [15].
- Współrzędne trójliniowe środka okręgu dziewięciu punktów to [16]
- Współrzędne trójliniowe punktu Feuerbacha to [6]
- Współrzędne trójliniowe środka hiperboli Kieperta to [17]
Uogólnienia
[edytuj | edytuj kod]Okrąg dziewięciu punktów jest krzywą stożkową przechodzącą przez dziewięć punktów trójkąta: środki boków, połowy odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum oraz spodki wysokości. Jeśli zamiast spodków wysokości trójkąta wziąć spodki dowolnych trzech, wychodzących z wierzchołków, przecinających się w jednym punkcie odcinków, to okaże się, że przez te punkty przechodzi dokładnie jedna krzywa stożkowa zwana krzywą dziewięciu punktów[18].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Coxeter 1961 ↓, s. 18–20.
- ↑ Kurlyandchik ↓, s. 123–126.
- ↑ a b Wells 1991 ↓, s. 159.
- ↑ Bottema 2008 ↓, s. 20.
- ↑ Feuerbach i Buzengeiger 1822 ↓.
- ↑ a b Kimberling 2013 ↓, X(11).
- ↑ Coxeter 1961 ↓, s. 71.
- ↑ Dörrie 1965 ↓, s. 142–144.
- ↑ a b Wells 1991 ↓, s. 209.
- ↑ Wells 1991 ↓, s. 76,165.
- ↑ Zetel 1964 ↓, s. 57–58.
- ↑ Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 22.
- ↑ Yiu 1998 ↓, s. 154.
- ↑ Johnson 1960 ↓, s. 209,243.
- ↑ Crux Mathematicorum ↓, s. 514–515.
- ↑ Kimberling 2013 ↓, X(5).
- ↑ Kimberling 2013 ↓, X(115).
- ↑ Russell 1905 ↓, s. 120–121.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
- H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
- H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
- Solution: 2276. „Crux Mathematicorum”. 24 (8). ISSN 1496-4309.
- Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Soluton. David Antin (tłum.). Nowy York: Dover, 1965.
- Karl Wilhelm Feuerbach, Carl Heribert Ignatz Buzengeiger: Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung. Nürnberg: Wiessner, 1822.
- Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry (dawn. Modern Geometry). Nowy York: Dover, 1960.
- Clark Kimberling: Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangle Centers. 2013-10-22. [dostęp 2014-05-04]. (ang.).
- Lev Kurlyandchik: Kącik olimpijski, część I. Geometria. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat. ISBN 978-83-87329-82-7.
- J.S MacKay. History of the Nine Point Circle. „Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society”, s. 19–61, 1892.
- Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
- John Welesley Russell: An elementary treatise on pure geometry with numerous examples. Oxford, Clarendon Press, 1905.
- David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. John Sharp (ilustr.). Penguin Books Ltd., 1991.
- Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
- S.I. Zetel: Geometria trójkąta. Andrzej Mąkowski (tłum.). Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1964.
- David Fraivert: New points that belong to the nine-point circle. The Mathematical Gazette, 2019.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Nine-Point circle, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- Nine-point circle (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-07].
- Michael de Villiers: A generalisation of the nine-point circle and Euler line. [dostęp 2013-08-01]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-11-06)].
- Jim Wilson: Taking Some Mystery out of the Nine Point Circle with GSP.
- Jim Wilson: History of the Nine Point Circle.