Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem[1], zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech będą zbiorami. Jeżeli każdy element jest jednocześnie elementem to zbiór nazywa się podzbiorem zbioru [2][3][4]. W zapisie logicznym:
Jeżeli jest podzbiorem to sam zbiór nazywa się nadzbiorem zbioru [3] i oznacza
Jeżeli każdy element zbioru należy do i jednocześnie każdy element zbioru należy do czyli oraz to i dla zaznaczenia tego faktu taki podzbiór zbioru nazywa się niewłaściwym. Zatem cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc W przeciwnym wypadku, czyli gdy oraz zbiór nazywa się podzbiorem właściwym zbioru [3] i oznacza Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.
Zapis
[edytuj | edytuj kod]Do oznaczenia podzbioru bądź nadzbioru niekiedy wykorzystuje się jedynie symbole [5] oraz a bycie podzbiorem (nadzbiorem) właściwym jest wtedy zaznaczane obok. Występuje to m.in. w starszych pozycjach, np. w podręcznikach Kuratowskiego[2][4] i Rasiowej[3]. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków i na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów, również niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości), pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych[a][6][7].
Część autorów przyjęła nową konwencję, inni pozostali przy dotychczasowej. W wyniku tego znaczenie symboli i stało się nieprecyzyjne. Z czasem wprowadzono symbole i na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.
Zawieranie
[edytuj | edytuj kod]Dla dowolnego zbioru prawdziwe jest zdanie:
- zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru[8][9] (element najmniejszy),
Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.
Poza tym dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące fakty:
- dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),
- zbiory będące swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe[8][2] (antysymetria),
- podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),
Relacja jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym[11][12]. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją[2][3][4]. Dlatego też dla danych zbiorów pozostających z sobą w relacji mówi się obok „ jest podzbiorem ”, że zawiera się bądź jest zawarty w Analogiczne wyrażenie obok „ jest nadzbiorem ” czyta się zawiera
Relacja ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania[b]. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.
Zawieranie właściwe
[edytuj | edytuj kod]Podobnie rzecz ma się z relacjami oraz które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności[c]; dla dowolnych zbiorów
- żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),
- podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),
Z tych dwóch własności wynika też trzecia:
- podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),
Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- zbiór jest podzbiorem (właściwym) zbioru
- zbiór zawiera się w
- zbiór nie jest podzbiorem zbioru
- zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
- zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
- zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Zgodnie z analogią do symboli stosowanych w relacjach porządku, np.
- ↑ Relację można sformalizować na poziomie języka uznając, że jest po prostu innym sposobem zapisu
- ↑ Raz jeszcze można uznać, że to inny sposób zapisu mianowicie wyrażenie jest tożsame
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ nadzbiór, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-14] .
- ↑ a b c d Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 8.
- ↑ a b c d e Rasiowa 1975 ↓, s. 10.
- ↑ a b c d Kuratowski 1980 ↓, s. 21.
- ↑ podzbiór, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-14] .
- ↑ Ross i Wright 1996 ↓, s. 17.
- ↑ Tiuryn 1998 ↓, s. 4.
- ↑ a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 12.
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 10.
- ↑ Kuratowski 1980 ↓, s. 22.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 112.
- ↑ Kuratowski 1980 ↓, s. 74.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
- Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
- Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
- Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
- Jerzy Tiuryn: Wstęp do teorii mnogości i logiki. Warszawa: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Uniwersytet Warszawski, 1998.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Subset, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-17].