Powierzchnia – zbiór punktów (miejsce geometryczne) o tej własności, iż można wokół każdego jej punktu zbudować (niewielką) sferę, która w przecięciu z tym zbiorem daje jedynie obiekty jednowymiarowe (krzywe). Jest to trójwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Powierzchnia jest także potocznym określeniem pola powierzchni.
Definicja formalna
[edytuj | edytuj kod]Powierzchnia to continuum o wymiarze 2, tj. takie continuum, iż każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum o wymiarze 2 lub wyższym jednak zawiera continuum o wymiarze 1.
Powierzchnia może w szczególności rozgałęziać się.
Klasyfikacja powierzchni w topologii algebraicznej
[edytuj | edytuj kod]Zwarte domknięte (bez brzegu) powierzchnie (czyli takie dla których otoczenie każdego punktu jest homeomorficzne z ) można podzielić na klasy równoważności zgodnie z relacją równoważności zadaną przez homeomorfizm. Twierdzenie o klasyfikacji powierzchni mówi wtedy, że takich klas równoważności jest przeliczalnie wiele i każda z nich ma reprezentanta jednej z 3 postaci:
- Sferę
- Sumę spójną (wzdłuż ) g torusów dla
- Sumę spójną (wzdłuż ) k kopii dla
Pozwala to na klasyfikacje powierzchni na podstawie tylko dwóch informacji: genusu oraz czy przestrzeń jest orientowalna. Dodatkowo przestrzenie orientowalne mają nietrywialną najwyższą grupę homologii a nieorientowalne nie
Przykłady powierzchni
[edytuj | edytuj kod]- helikoida
- hiperboloida
- płaszczyzna
- powierzchnia stożkowa
- powierzchnia wielościenna
- rogata sfera Alexandera
- sfera
- torus
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.