Punkt nieciągłości

Punkt nieciągłości, nieciągłość^[1] – dwuznaczne pojęcie analizy matematycznej i topologii:

• argument funkcji, dla którego dana funkcja nie jest ciągła^[2];
• czasem wymaga się, żeby był to punkt skupienia tej dziedziny, a niekoniecznie jej element^[3][4].

Wyróżnia się kilka odmian nieciągłości, a te odmiany nie zawsze są rozłączne – niektóre właściwości mogą się łączyć. Na temat nieciągłości udowodniono co najmniej kilka twierdzeń, związanych m.in. z pojęciem całki.

Co najmniej dwa rodzaje nieciągłości są określone dla funkcji między dowolnymi przestrzeniami topologicznymi:

• jeśli w punkcie nieciągłości istnieje granica funkcji, to taką nieciągłość nazywa się usuwalną^[1][6];
• punkt nieciągłości nazywa się odosobnionym, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu funkcja jest ciągła^[1]. Przykład funkcji z odosobnioną nieciągłością to funkcja signum (znak) – punkt nieciągłości to 0. Przykładem funkcji, dla której każdy punkt jej dziedziny jest punktem nieciągłości, jest funkcja Dirichleta.

Dla funkcji zmiennej rzeczywistej ${\displaystyle (f:X\rightarrow Y,}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} )}$ definiuje się dodatkowe rodzaje nieciągłości:

• nieciągłość skokowa oznacza, że funkcja ma w danym punkcie różne granice jednostronne^[a], właściwe (skończone) lub nie^[6]. Jeśli są skończone, to mówi się też o skoku funkcji^[7], choć ta nazwa oznacza też różnicę między granicami jednostronnymi^[8];
• nieciągłość zwyczajna lub pierwszego rodzaju – rozumiana szeroko – oznacza skończone granice jednostronne^[b][7]. Czasem wymaga się dodatkowo, by granice te były różne^[3], co pokrywa się z jednym z podanych wyżej pojęć skoku funkcji;
• nieciągłość drugiego rodzaju – rozumiana szeroko – oznacza, że w danym punkcie nie istnieją skończone granice jednostronne^[6][7]. Czasem wymaga się, by co najmniej jedna z granic jednostronnych była nieskończona^[3].

Dla funkcji rzeczywistej zbiór nieciągłości jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych^[4]. Istnieją też wyniki o nieciągłościach funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej ${\displaystyle (f:X\rightarrow Y;}$ ${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {R} )}$:

• Funkcja monotoniczna w przedziale ma w nim wyłącznie nieciągłości skokowe^[9].
• Pochodna funkcji ma przeliczalną liczbę nieciągłości skokowych^[10].
• Niech funkcja ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ będzie ograniczona i mierzalna. Jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero^[11].

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 12. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
• Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, seria: Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.
• Andrzej Schinzel: Wacław Sierpiński. Wydawnictwo Iskry, 1976, seria: Współczesne życiorysy Polaków.
• PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), mimuw.edu.pl, 14 grudnia 2018 [dostęp 2025-10-09] .

• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 270–271.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Removable Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Jump Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Infinite Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].