Relacja zwrotna – abstrakcyjna relacja, w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą[1].
Formalnie: relację dwuczłonową nazywa się zwrotną, gdy
Zwrotność jest jedną z definiujących cech praporządków, w tym relacji równoważności i częściowych porządków (skierowań).
Relacja przeciwzwrotna – relacja, w której żaden element zbioru nie jest w relacji sam z sobą.
Formalnie: relację dwuczłonową nazywa się przeciwzwrotną, gdy
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Relacje zwrotne:
- przecinanie się zbiorów niepustych,
- przemienność (komutacja) funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych,
- liniowa zależność wektorów,
- podgrupa normalna to przykład relacji zwrotnej, która nie jest ani symetryczna, ani przechodnia.
Relacje przeciwzwrotne:
- relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych,
- ścisłe zawieranie (ścisła inkluzja) zbiorów,
- prostopadłość prostych,
- rozłączność zbiorów niepustych,
- liniowa niezależność niezerowych wektorów,
- bycie rodzicem lub przodkiem, dzieckiem lub potomkiem, rodzeństwem, małżonkiem.
Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne:
- podzielność liczb naturalnych z zerem – nie jest zwrotna, ponieważ zero nie dzieli siebie samej (ani żadnej innej liczby); nie jest też przeciwzwrotna, bo dalsze liczby naturalne już dzielą siebie same;
- względna pierwszość liczb naturalnych – nie jest zwrotna, ponieważ 2 nie jest względnie pierwsza ze sobą; nie jest też przeciwzwrotna, bo 1 jest już względnie pierwsza ze sobą samą.
- Biorąc relację określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą pierwszą. Relacja nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ ) oraz (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ ).
- Rozdzielność działania – nie jest zwrotna, ponieważ dodawanie nie jest rozdzielne względem siebie samego; w ogólności a+(b+c) ≠ (a+b)+(a+c). Nie jest też przeciwzwrotna, ponieważ suma zbiorów jest już samorozdzielna: .
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ relacja zwrotna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155. ISBN 83-01-14415-7.
Encyklopedie internetowe (endorelation):