Stożek (łac. conus) – bryła ograniczona przez:
- powierzchnię stożkową, której krzywa kierująca jest zamknięta;
- płaszczyznę przecinającą tę powierzchnię stożkową[1].
Mówiąc krótko, stożek powstaje przez połączenie odcinkami dowolnej figury płaskiej z jednym punktem spoza jej płaszczyzny[2].
W każdym stożku wyróżnia się:
- podstawę – część płaszczyzny wyciętą przez powierzchnię stożkową. Podstawą stożka może być dowolna figura płaska, a jej obwód może być krzywą kierującą powierzchni stożkowej;
- wysokość – odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy.
Jeśli podstawą stożka jest koło, to nazywa się go stożkiem kołowym[1]. Jeśli podstawą jest wielokąt, to taki stożek jest znany jako ostrosłup, przy czym ten typ figur ma też inne definicje.
Objętość stożka
[edytuj | edytuj kod]Wynosi ona[potrzebny przypis]:
gdzie:
- – pole powierzchni podstawy stożka,
- – wysokość stożka.
Stożek obrotowy
[edytuj | edytuj kod]Definicje
[edytuj | edytuj kod]Jeśli w stożku kołowym rzut wierzchołka na podstawę jest jej środkiem, to taki stożek nazywa się kołowym prostym[1]. Dowolny odcinek między jego wierzchołkiem a podstawą jest znany jako tworząca stożka[1]. Jest to bryła obrotowa powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Dlatego jest też znana jako stożek obrotowy[potrzebny przypis]. Stożek bywa definiowany w ten wąski sposób[3][4].
Poszczególne boki tego trójkąta prostokątnego są dalej oznaczane:
- – przyprostokątna na osi obrotu, będąca wysokością stożka;
- – druga przyprostokątna, będąca promieniem podstawy;
- – przeciwprostokątna, będąca tworzącą stożka.
Długość tworzącej
[edytuj | edytuj kod]Pola powierzchni
[edytuj | edytuj kod]Pole powierzchni bocznej[5]:
Uzasadnienie: powierzchnia boczna stożka po rozprostowaniu na płaszczyźnie tworzy wycinek kołowy o:
- promieniu takim jak tworząca stożka:
- długości łuku równej obwodowi podstawy stożka:
Pole powierzchni tego wycinka można obliczyć z ogólnego wzoru[a]:
Pole powierzchni całkowitej[5]:
Objętość
[edytuj | edytuj kod]Wzór ten obowiązuje także dla dowolnych ostrosłupów, jest wtedy polem wielokątnej podstawy. Koło jest granicznym przypadkiem ciągu wielokątów foremnych dla liczby boków dążącej do nieskończoności.
Kąt rozwarcia stożka
[edytuj | edytuj kod]Tym terminem oznacza się kąt przy wierzchołku przekroju osiowego stożka
Kula opisana na stożku obrotowym
[edytuj | edytuj kod]Jej objętość wynosi[potrzebny przypis]:
gdzie:
- – długość tworzącej,
- – promień podstawy.
Opis analityczny
[edytuj | edytuj kod]Stożek obrotowy w kartezjańskim układzie współrzędnych jest opisany układem nierówności:
gdzie:
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ W szczególności dla całego koła byłoby i
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c d Stożek, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-05-20] .
- ↑ stożek [w:] Słownik języka polskiego [online], PWN [dostęp 2024-05-20].
- ↑ stożek [w:] Wielki słownik języka polskiego [online], Instytut Języka Polskiego PAN [dostęp 2024-05-20].
- ↑ Bryły obrotowe – stożek, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-20].
- ↑ a b c Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 14, ISBN 978-83-940902-1-0 .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, wyd. XIV, s. 226, ISBN 83-01-11658-7.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Cone, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-05-20].
- Eric W. Weisstein , Right Circular Cone, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-05-20].
- Eric W. Weisstein , Elliptic Cone, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-05-20].
- Eric W. Weisstein , Cone-Sphere Intersection, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-05-20].
- Eric W. Weisstein , Generalized Cone, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-05-20].
- Cone (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-20].