Spis treści
Szereg potęgowy
Szereg potęgowy – w analizie matematycznej, szereg funkcyjny postaci[1][2][3]
lub[4]
przy czym współczynniki oraz stała są ustalonymi liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi[4]. Zmienna także może być rzeczywista lub zespolona[1]. Liczba nazywana jest środkiem szeregu.
Uważa się, że pierwszego zastosowania rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy dokonał James Stirling w 1717 roku[5].
Zbieżność szeregu
[edytuj | edytuj kod]Szeregi potęgowe zespolone
[edytuj | edytuj kod]Każdy szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich wartości należących do pewnego koła otwartego
o środku w punkcie i rozbieżny poza jego domknięciem. Dla szereg może być w pewnych punktach zbieżny a w innych rozbieżny. Liczbę nazywa się promieniem zbieżności szeregu, a koło – kołem zbieżności szeregu.
Jeśli szereg potęgowy jest zbieżny dla każdej wartości to promień zbieżności jest nieskończenie wielki: [3].
Twierdzenie 1
Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć ze wzoru:
- ,
przy założeniu, że powyższa granica istnieje ( zob. Granice dolna i górna nt. objaśnienia notacji).
Przy tym:
- jeśli to i szereg jest zbieżny jedynie dla
- jeśli to i szereg jest zbieżny dla wszystkich
Twierdzenie 2 (kryterium d'Alemberta)
Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć ze wzoru:
przy założeniu, że powyższa granica istnieje.
Dowód twierdzenia 1
[edytuj | edytuj kod](1) Niech ,
dla . Wykazanie zbieżności jednostajnej jest równoważne z pokazaniem, że
,
gdzie oznacza normę supremum podanej funkcji na .
.
Korzystając z nierówności trójkąta,
,
ponieważ . Aby pokazać, że całość zbiega do 0, należy skorzystać z nierówności oraz z faktu, że istnieje stała rzeczywista taka, że .
,
a ostatni szereg po prawej dąży do 0, gdy .
(2) Wystarczy zauważyć, że , więc dowód przebiega tak samo jak w części (1).
(3) Oznaczamy
,
.
Wówczas
.
Funkcja dla każdej liczby naturalnej istnieje, ponieważ jest wielomianem. Pierwsze wyrażenie jest równe 0, ponieważ
,
drugie dąży do 0 gdy , a ostatnie
.
Wyrażając różnicę przez wzór na różnicę n-tych potęg, można zastosować szacowanie
,
gdzie jest odpowiednim promieniem zbieżności. Ostatni szereg dąży do 0, gdy , więc całe wyrażenie dąży do 0.
Szereg potęgowy jako funkcja holomorficzna
[edytuj | edytuj kod]Szereg potęgowy jest funkcją funkcja holomorficzną (tj. jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna), co uzasadniają poniższe twierdzenie:
- Szereg potęgowy jest ciągły i zbieżny jednostajnie na dowolnym zwartym podzbiorze koła zbieżności.
- Szereg potęgowy o środku w punkcie i promieniu zbieżności jest zbieżny jednostajnie na dowolnym kole domkniętym o promieniu i środku w punkcie ( tj. na kole , gdzie , a - domknięcie zbioru).
- Pochodną funkcji jest szereg potęgowy - różniczkowanie szeregu można zastąpić szeregiem pochodnych po poszczególnych wyrazach szeregu ze względu na zbieżność jednostajną.
- Szereg przedstawiający pochodną funkcji także jest zbieżny jednostajnie na dowolnym kole , gdzie .
- Z powyższych własności wynika, że szereg potęgowy ma pochodne dowolnego rzędu wewnątrz koła zbieżności, co oznacza, że funkcja przedstawiona za pomocą szeregu potęgowego jest holomorficzna wewnątrz koła zbieżności.
Szeregi potęgowe rzeczywiste
[edytuj | edytuj kod]W przypadku zmiennej rzeczywistej koło zbieżności stanowi przedział nazywany przedziałem zbieżności szeregu[2].
Działania na szeregach potęgowych
[edytuj | edytuj kod]Dane są szeregi o identycznych środkach, ale o niekoniecznie równych promieniach zbieżności:
Równość szeregów
[edytuj | edytuj kod]Dwa szeregi przedstawiają tę samą funkcję wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe wszystkie współczynniki przy tych samych potęgach dwumianu
Dodawanie i odejmowanie
[edytuj | edytuj kod]Suma / różnica funkcji zadanych za pomocą szeregów potęgowych jest szeregiem danym wzorem
zbieżnym w mniejszym z kół zbieżności szeregów oraz .
Mnożenie i dzielenie
[edytuj | edytuj kod]Iloczyn szeregów: Iloczynem Cauchy’ego określonych wyżej szeregów nazywamy szereg
Dla argumentów z mniejszego koła zbieżności szereg jest zbieżny bezwzględnie i kolejność sumowania wyrazów nie ma znaczenia, dlatego powyższą sumę można też zapisać jako
Dzielenie szeregów (dla tych liczb z, dla których mianownik nie zeruje się):
Dla wyznaczenia współczynników wystarczy napisać
skąd przez wymnożenie, porównanie współczynników szeregów po obu stronach i wykorzystanie ich jednoznaczności otrzymamy
Całkowanie i różniczkowanie
[edytuj | edytuj kod]Z własności szeregu potęgowego wynika bezpośrednio (patrz: szereg funkcyjny), że jego suma jest funkcją różniczkowalną i całkowalną w sensie Riemanna we wnętrzu koła zbieżności tego szeregu. Co więcej, ze względu na zbieżność jednostajną szeregu potęgowego zarówno pochodną, jak i całkę tej funkcji można otrzymać różniczkując lub całkując szereg potęgowy funkcji wyraz po wyrazie,
oraz
Obydwa szeregi po prawej stronie równości są zbieżne w tym samym kole zbieżności co szereg wyjściowy.
Funkcje analityczne
[edytuj | edytuj kod]Z szeregami potęgowymi zmiennej zespolonej ściśle związane są funkcje analityczne.
(1) Każda funkcja analityczna lokalnie (tj. w pewnym otoczeniu dowolnego punktu swej dziedziny) daje się przedstawić szeregiem potęgowym
(2) I na odwrót: każdy szereg potęgowy jest funkcją analityczną we wnętrzu swego koła zbieżności.
(3) Klasa funkcji analitycznych w pewnym obszarze tworzy pierścień, to znaczy suma i iloczyn funkcji analitycznych jest również funkcją analityczną oraz iloraz funkcji analitycznych jest funkcją analityczną, o ile mianownik nie przyjmuje w danym obszarze wartości zerowych.
(4) Każda zespolona funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w swej dziedzinie.
(5) Rozwinięcie funkcji analitycznej w szereg potęgowy w otoczeniu dowolnego punktu jest de facto szeregiem Taylora, gdyż współczynniki rozwinięcia dane są wzorem:
gdzie oznacza -tą pochodną w punkcie
(6) Jeśli dwie funkcje analityczne zmiennej zespolonej są określone w tym samym obszarze, a ich wszystkie pochodne są równe w pewnym punkcie tego obszaru, to obie funkcje są sobie równe w całym obszarze.
Uwaga:
Powyższe własności nie dotyczą funkcji zmiennej rzeczywistej – funkcja nieskończenie wiele razy różniczkowalna może nie dać przedstawić się szeregiem potęgowym.
Formalne szeregi potęgowe
[edytuj | edytuj kod]Pojęcie szeregu potęgowego zostało przeniesione do algebry pod postacią formalnego szeregu potęgowego nad danym ciałem. Ich badanie ma wielkie znaczenie dla kombinatoryki, gdzie występują pod postacią funkcji tworzących.
Szereg potęgowy wielu zmiennych
[edytuj | edytuj kod]Kolejnym uogólnieniem teorii szeregów potęgowych jednej zmiennej jest teoria szeregów wielu zmiennych.
Szereg potęgowy wielu zmiennych definiujemy następująco:
gdzie jest n-ką uporządkowaną liczb naturalnych, współczynniki są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a oraz są punktami -wymiarowej rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni euklidesowej.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b szereg potęgowy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-09-01] .
- ↑ a b Włodzimierz Krysicki , Lech Włodarski , Analiza matematyczna w zadaniach. 1, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2019, s. 231-232, ISBN 978-83-01-14295-7 (pol.).
- ↑ a b Włodzimierz Krysicki , Lech Włodarski , Analiza matematyczna w zadaniach. 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2018, s. 342-344, ISBN 978-83-01-14296-4 (pol.).
- ↑ a b I.N. Bronsztejn i inni, Nowoczesne kompendium matematyki, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2022, s. 454, ISBN 978-83-01-14148-6 (pol.).
- ↑ Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 113. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, Rozdział III Funkcje zmiennej zespolonej, s. 233-350. ISBN 978-83-01-19359-1
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Power Series, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-09-01].
- Power series (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-09-01].
- Zadania z szeregów potęgowych