Twierdzenie o pizzy (ang. pizza theorem) – twierdzenie mówiące o równości dwóch fragmentów koła przy odpowiednim jego podziale: koło należy podzielić na n kawałków (gdzie n jest liczbą naturalną większą bądź równą od 8 i podzielną przez 4) liniami prostymi przecinającymi się w punkcie p (dowolny punkt zawarty w tym kole) pod równymi kątami (kąty wynoszą 360°/n). Suma powierzchni fragmentów nieparzystych (zaczynając od dowolnego) jest równa sumie powierzchni fragmentów parzystych[2].
Twierdzenie to wzięło swoją nazwę od podobieństwa powyższego podziału koła do podziału pizzy na kawałki przez dwie osoby tak, aby był sprawiedliwy.
Uogólnienie
[edytuj | edytuj kod]Mabry i Deiermann (2009)[3] rozwiązali problem Cartera i Wagona (1994)[4] i uściślili twierdzenie, określając który z dwóch zestawów jest większy w przypadku, gdy obszary te są nierówne. Jeśli n mod 8 = 2 oraz żadne cięcie nie przechodzi przez środek koła to podzbiór sektorów z sektorem zawierającym centrum ma mniejszą powierzchnię niż drugi podzbiór. Jeśli n mod 8 = 6 i żadne cięcie nie przechodzi przez środek, to podzbiór z sektorem zawierającym środek ma większy obszar. Nieparzystej liczby sektorów nie da się uzyskać w wyniku cięć prostoliniowych, a cięcie przez środek powoduje, że oba podzbiory są równe bez względu na liczbę sektorów.
Hirschhorn zauważył również, że n kawałków pizzy (dla n podzielnego przez 4) można rozdzielić po równo między n/4 osób[5], np. 12 kawałków można rozdzielić po równo między 2 oraz 12/4=3 osoby.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Larry Carter, Stan Wagon. Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza. „Mathematics Magazine”. 67 (4), 1994. (ang.).
- ↑ L. J. Upton. Problem 660. „Mathematics Magazine”. 41 (1), s. 41, 1968. (ang.). Solution by Michael Goldberg
- ↑ Rick Mabry, Paul Deiermann. Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results. „American Mathematical Monthly”. 116 (5), s. 423–438, 2009. (ang.).
- ↑ Larry Carter, Stan Wagon. Problem 1457. „Mathematics Magazine”. 67 (4), 1994. (ang.).
- ↑ J. Hirschhorn, M. D. Hirschhorn, J. K. Hirschhorn, A. D. Hirschhorn i inni. The pizza theorem. „Austral. Math. Soc. Gaz.”. 26, s. 120–121, 1999. (ang.).