Wahadło – ciało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nieprzechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.
W mechanice wyróżnia się dwa podstawowe modele fizyczne wahadeł[1]:
- matematyczne (proste) – opisujące wahadło jako punkt materialny, zawieszony na nieważkiej nici,
- fizyczne – opisujące wahadło jako bryłę sztywną.
Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy, przy założeniu że amplituda drgań jest mała[a]. Własność ta, zwana izochronizmem drgań, została odkryta około 1602 roku przez Galileusza, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy[2]. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzeniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.
Ogólnie wahadło jest oscylatorem anharmonicznym, jego okres drgań i inne parametry zależą od amplitudy drgań. Rozwiązanie równania ruchu wahadła upraszcza się, jeśli założy się drgania o małych amplitudach. Jednak znalezienie rozwiązania dla dowolnie dużych amplitud wymaga użycia funkcji nieelementarnej, tzw. funkcji eliptycznej sn Jacobiego. Opis ruchu wahadła komplikuje się jeszcze bardziej, gdy trzeba uwzględnić efekt tłumienia ruchu wahadła. Wtedy efektywne rozwiązanie równania drgań dla dowolnych amplitud wymaga zastosowania metod numerycznych.
Historia
[edytuj | edytuj kod]W XVII w. Galileusz w czasach swej młodości odkrył izochronizm wahadła, oraz że okres drgań zależy jako pierwiastek kwadratowy długości wahadła. Wykorzystywał wahadło do odmierzania czasu. W 1644 Marin Mersenne wyznaczył długość wahadła sekundowego (o okresie 2 sekund). Współczesny mu Stanisław Pudłowski proponował oprzeć miarę długości na zjawisku wahadła. W 1657 Huygens przedstawił i opatentował zegar wahadłowy; wynalazek szybko rozprzestrzenia się. W 1673 Huygens przedstawił teorię wahadła, w tym zależność okresu drgań wahadła od miejsca zawieszenia wahadła fizycznego (p. Jean Richer). W 1687 Isaac Newton w pracy Principia zauważył, że przyspieszenie ziemskie można wyrazić jako długość wahadła sekundowego. W 1737 Pierre Bouguer wykonał pomiary przyspieszenia ziemskiego między innymi w Andach. Zauważył, że do pomiaru przyspieszenia ziemskiego wygodniej jest określanie okresu wahania, a nie długości wahadła sekundowego (ta wcześniejszą metoda wymagała zmieniania długości wahadła tak, by otrzymać okres drgań równy 1 s). Używając wahadeł, porównał gęstość Ziemi z gęstością Kordylierów. Od 1735 Charles Marie de La Condamine prowadził eksperymenty z wahadłami, dopracowując i wykonując pomiary przyspieszenia ziemskiego w różnych miejscach. W 1792 we Francji długość wahadła sekundowego była proponowana jako jednostka długości. Pomysł nie został przyjęty w metrycznym systemie miar[3]. W latach 1825/27 Bessel udoskonalił układ pomiarowy oraz wprowadził układ optyczny do obserwacji ruchu wahadła. W 1817 Henry Kater skonstruował wahadło rewersyjne, dając impuls do dokładnych i bezwzględnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego. W latach 1827–1840 Francis Baily skonstruował różne wahadła, w tym wahadło poruszające się w próżni[3].
Wahadło matematyczne
[edytuj | edytuj kod]Definicja
[edytuj | edytuj kod]Wahadłem matematycznym nazywa się punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym[1]. Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia[4]:
- rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu z długością nici,
- nić jest nieważka,
- nić jest nierozciągliwa,
- wahadłu nadano prędkość początkową tak, że drga w płaszczyźnie pionowej,
- na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu ze strony powietrza).
Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz niżej)[4].
Równanie ruchu wahadła matematycznego
[edytuj | edytuj kod]Równanie ruchu wahadła określa wzór[1][4]
gdzie:
- – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili przy czym kąt ten przyjmują wartości dodatnie np. dla odchyleń w prawo, a ujemne dla odchyleń w lewo,
- – przyspieszenie ziemskie,
- – długość nici.
Wahadło jest odchylone od pionu o kąt . Na ciało wahadła działa siła ciężkości, skierowana pionowo w dół, oraz siła naprężenia nici, skierowana wzdłuż nici wahadła. Siłę ciężkości wahadła rozkłada się w układzie współrzędnych biegunowym na składową prostopadłą do kierunku ruchu o współrzędnej oraz składową styczną do kierunku ruchu o współrzędnej . (Znak przy współrzędnej wynika stąd, iż siła styczna działa zawsze w stronę punktu równowagi ciała, znajdującego się w położeniu kątowym .) Wypadkowa sił napięcia nici oraz siły jest skierowana w kierunku punktu obrotu wahadła - siła ta pełni rolę siły dośrodkowej: nie wpływa na zmianę wartości prędkości, ale zmienia jej kierunek. Zaś składowa styczna nadaje ciału przyspieszenie wzdłuż łuku okręgu. Z II zasady dynamiki mamy:
Stąd
Załóżmy, że ciało zaczyna ruch od położenie pionowego. Jego ruch wzdłuż łuku okręgu powoduje przebycie drogi , równej iloczynowi promienia okręgu , pomnożonemu przez kąt zakreślony przez promień wodzący ciała:
- .
Obliczając pochodne po czasie otrzymamy kolejno prędkość i przyśpieszenie ciała wzdłuż toru ruchu:
Porównując wzory na przyśpieszenie otrzymamy:
i ostatecznie otrzymamy równanie ruchu wahadła:
Przybliżenie I równania ruchu wahadła - założenie małej amplitudy drgań
[edytuj | edytuj kod]Równanie ruchu wahadła jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, nieliniowym. Dokładne rozwiązanie takiego równania jest niełatwe. Tu podano pierwszy sposób znalezienia rozwiązania przybliżonego, przy założeniu że wahadło wykonuje drgania o niewielkiej amplitudzie kątowej. Przy takim założeniu funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (wzór Maclaurina)[b][1]:
wówczas równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci
Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych.
Rozwiązanie równania dla małych drgań
[edytuj | edytuj kod](1) Rozwiązaniem powyższego równania jest zależność kąta wahań od czasu dana wzorem[5]:
gdzie:
- – amplituda drgań,
- – częstotliwość kołowa małych drgań,
- – faza początkowa drgań.
(2) Dla warunków początkowych (tj. w chwili wahadło przechodzi przez położenie równowagi) otrzyma się rozwiązanie:
(3) Okres drgań jest związany z częstotliwością kołową wzorem
Stąd otrzymuje się[4]
Wnioski
[edytuj | edytuj kod]Z otrzymanych rozwiązań wynika, że gdy wahadło wykonuje małe drgania, to:
- zależność kąta wychylenia wahadła od czasu jest funkcją harmoniczną,
- okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.
Izochronizm wahadła odkrył już Galileusz w XVI w., własność ta jest słuszna dla małych drgań.
Na wykresie pokazano rozwiązania ruchu wahadła dla małych amplitud drgań obliczone z dokładnego równania wahadła. Wyniki są zgodne z wnioskami, wyprowadzonymi tu z równania przybliżonego dla małych amplitud drgań.
Przybliżenie II równania ruchu wahadła - dwa wyrazy szeregu Maclaurina
[edytuj | edytuj kod]Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać dla dużych amplitud drgań w sposób przybliżony, przybliżając funkcję sinus do dwóch początkowych wyrazów szeregu Maclaurina: . Wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać[6]:
Rozwiązanie tego równania ma postać (z dokładnością do wyrazów 3-go rzędu) - przy założeniu warunków początkowych (tj. w chwili wahadło przechodziło przez położenie równowagi):
gdzie:
- – amplituda drgań o częstotliwości
- – amplituda drgań o częstotliwości
- - częstotliwość małych drgań
- - częstotliwość drgań wahadła o dużej amplitudzie;
Rozwiązanie powyższe wskazuje, iż wahadło matematyczne nie jest oscylatorem harmonicznym, lecz:
- ruch wahadła jest złożeniem dwóch drgań harmonicznych mających częstotliwości oraz i amplitudy odpowiednio równe oraz
- częstotliwość drgań zależy od amplitudy (nie występuje izochronizm drgań charakterystyczny dla małych amplitud)
- częstotliwość drgań jest mniejsza niż dla drgań o małej amplitudzie; częstotliwość ta maleje wraz ze wzrostem amplitudy
- amplituda składowych harmonicznych zależą od trzeciej potęgi amplitudy
Z drugiej strony, dla dostatecznie małych wartości częstotliwość drgań zbliża się do wartości a amplituda wyższej harmonicznej staje się pomijalnie mała – otrzymuje się drganie harmoniczne o amplitudzie i częstotliwości która nie zależy od amplitudy.
Uwagi:
- Powyższe rozwiązanie przybliżone daje częstotliwość drgań nie odbiegającą od częstotliwości rozwiązania dokładnego o więcej niż 3% dla amplitud drgań Zależności te ilustruje wykres.
- Jednak błąd średniokwadratowy pomiędzy przybliżonym rozwiązaniem na zależność kąta od czasu a rozwiązaniem dokładnym jest znacznie większy niż ten sam błąd obliczony dla sumy częściowej szeregu Fouriera, np. wziętej tylko dla trzech początkowych wyrazów szeregu (np. dla amplitudy błąd ten jest ponad 170 razy większy).
- Rozwiązanie przybliżone daje dokładność zadowalającą dla amplitud
- Dokładniejsze przybliżenie uzyska się, jeśli zamiast przyjąć , gdzie - okres drgań rozwiązania ścisłego, słusznego dla dowolnych amplitud, co omówiono niżej.
- Wtedy rozwiązanie przybliżone można traktować jako rozwiązanie analogiczne do sumy częściowej rozwinięcia w szereg Fouriera rozwiązania dokładnego , ograniczonej do trzech wyrazów rozwinięcia w funkcje sinusoidalne i kosinusoidalne. Ponownie jednak przybliżenie za pomocą sumy częściowej trzech wyrazów szeregu Fouriera daje znacznie mniejszy błąd średniokwadratowy aproksymacji.
- Jest to ogólna prawidłowość, stanowiąca treść jednego z twierdzeń analizy Fourierowskiej: spośród wszystkich funkcji, przybliżających daną funkcję za pomocą skończonej kombinacji liniowej funkcji sinusoidalnych i kosinusoidalnych najmniejszy średni błąd kwadratowy aproksymacji uzyska się dla współczynników będących współczynnikami rozwinięcia danej funkcji w szereg Fouriera (por. Dokładności aproksymacji funkcji szeregiem Fouriera).
Okres drgań wahadła dla dowolnie dużych amplitud
[edytuj | edytuj kod]Zależność czasu drgań od kąta wychylenia wahadła
[edytuj | edytuj kod]Rozwiązanie ogólnego równania ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy można podać w postaci uwikłanej[7]:
(wyprowadzenie tego wzoru pokazano dalej - w części Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów). Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do otrzymuje się zależność czasu od kąta wychylenia wahadła:
Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną niezupełną pierwszego rodzaju.
Okres drgań o dowolnej amplitudzie
[edytuj | edytuj kod]Przyjmując w powyższym wzorze wartość kąta w granicy górnej całki i mnożąc go przez 4 otrzyma się wzór na okres drgań wahadła o dowolnej amplitudzie drgań[8]:
gdzie jest całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju.
Z własności całek eliptycznych wynika, że wartość dla rośnie ze wzrostem argumentu . Okres drgań zależy więc od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem (aż do nieskończoności dla amplitudy drgań , gdy wahadło dąży do górnego położenia w pionie). Zależność tę pokazuje wykres. Częstotliwość drgań zaś maleje od częstotliwości małych drgań do 0 (por. wykres w poprzednim rozdziale).
Obliczanie numeryczne okresu drgań wahadła
[edytuj | edytuj kod]Całki eliptyczne są stablicowane (patrz np. Tabela wartości całek eliptycznych); obliczanie wartości tych całek jest także zaimplementowane w językach programowania; np. Python używa biblioteki funkcji specjalnych poprzez wywołanie instrukcji:
from scipy.special import ellipk
zaś instrukcja licząca okres drgań ma postać
T = 4*np.sqrt(L/g) * ellipk(k*k)
gdzie - tzw. moduł całki eliptycznej.
Uwaga:
W Python należy liczyć wartość całki eliptycznej z (tzw. parametr całki eliptycznej), nie z samej wartości .
Rozwinięcie wzoru na okres drgań o dowolnej amplitudzie w szeregi
[edytuj | edytuj kod](1) Całkę eliptyczną w powyższym wzorze można rozwinąć w szereg Taylora względem , co prowadzi do wzoru[8][9]
(2) Dokładniejsze przybliżenie uzyskuje się rozwijając całkę eliptyczną w szereg Maclaurina względem (przy czym całka winna być najpierw wyrażona w bazie wielomianów Legendre'a)[10]
Gdy w powyższych wzorach pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego[11].
Wzór na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów można wyprowadzić z zasady zachowania energii mechanicznej wahadła. Energia ta jest zachowana, gdy na wahadło działają jedynie siły zachowawcze, a opory ruchu nie występują, co tutaj zakłada się.
Jeżeli wahadło znajdowało się początkowo w położeniu i opadło do położenia (por. rysunek), to nastąpiła zmiana jego wysokości o wielkość daną wzorem[12]
Zmiana wysokości wahadła powoduje ubytek jego energii potencjalnej grawitacji oraz równy mu przyrost energii kinetycznej,
czyli
gdzie - prędkość, jaką uzyskało wahadło. Stąd mamy
Ponieważ
gdzie jest prędkością kątowa wahadła, mierzoną względem jego punktu zamocowania, to z porównania powyższych wzorów otrzymuje się
Wstawiając do powyższego wzoru wyprowadzoną wcześniej zależność otrzymuje się[12]
Stąd
Okres wahań otrzyma się całkując powyższe równanie w granicach od 0 do i mnożąc całkę przez 4 (wahadło wraca do początku ruchu po 4 takich ruchach)[13]:
Całka występująca w powyższym wzorze jest całką eliptyczną. Aby przepisać ją do postaci Legendre’a, którą używa się standardowo w tablicach wartości tych całek (por. niżej) oraz w językach programowania (np. w Python, C++), wprowadza się nową zmienną , taką że ostatecznie otrzymuje się wzór na okres drgań wahadła[13][14]
gdzie jest całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju zdefiniowaną wzorem:
przy czym
- - tzw. moduł całki eliptycznej.
Całkę można rozwinąć w szereg względem modułu eliptycznego [13]
co prowadzi do wzoru na okres drgań wyrażony przez szereg, podany wyżej.
Różniczkując względem czasu wyprowadzone wyżej równanie na prędkość kątową (z użyciem reguły łańcuchowej) otrzyma się przyspieszenie kątowe
czyli
Stąd:
co jest tym samym równaniem, które zostało wyprowadzone wcześniej z analizy sił.
Dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła dla dowolnych amplitud - ruch oscylacyjny
[edytuj | edytuj kod]Omówiony zostanie tu przypadek ruchu oscylacyjnego wahadła, tj. dla amplitud drgań . (Przypadek ruchu o amplitudzie , tzw. ruch asymptotyczny, omówiono dalej.) Jawną zależności kąta wychylenia wahadła od czasu dla dowolnie dużych amplitud w ruchu oscylacyjnym uzyskuje się obliczając funkcję odwrotną do funkcji podaną w poprzednim rozdziale, przy czym wykorzystuje się funkcję sinus amplitudy Jacobiego[9].
(a) Jeżeli zada się warunki początkowe , (tj. w chwili wahadło w pionie oraz posiada zadaną prędkość kątową), to rozwiązanie ogólne wyraża się przez funkcję sinus amplitudy Jacobiego [15][9]:
- ,
gdzie :
(b) Jeżeli zada się warunki początkowe , (tj. w chwili wahadło odchylone od pionu o maksymalny kąt ), to rozwiązanie ogólne wyraża się przez funkcję sinus amplitudy Jacobiego, ale trzeba dokonać przesunięcia wykresu "w tył" na osi czasu [15]
gdzie:
- - okres drgań wahadła
Uwaga 1:
Ruch oscylacyjny zachodzi dla amplitud drgań . Z zależności wynika, że dla ruchu oscylacyjnego .
Uwaga 2:
Zachodzi równość , jeżeli dla amplitudy drgań prędkość kątowa wahadła wynosi , gdy przechodzi przez położenie równowagi. (Związek ten łatwo wyprowadzić z zasady zachowania energii.) Ma to znaczenie praktyczne: łatwiej zadać amplitudę drgań wahadła, niż jego prędkość kątową, a i tak ruch będzie poprawnie odtworzony przy założeniu warunków początkowych (a).
Uwaga 3: Ogólne warunki początkowe a ruch oscylacyjny wahadła
Warunki oraz określają, kiedy zachodzi ruch oscylacyjny dla przypadków (a) i (b) warunków początkowych. W ogólnosci warunki początkowe można zadać poprzez określenie dowolnego położenia kątowego i dowolnej prędkości kątowej wahadła w chwili . To, jaki rodzaj ruchu będzie wykonywać wahadło dla tych ogólnych warunków początkowych, można określić rozważając energię mechaniczną wahadła, co zostało omówione dalej.
Uwaga 4: Precyzja obliczeń numerycznych
Na zamieszczonych tu wykresach dla amplitudy obliczenia numeryczne sugerują, iż wahadło wykazuje ruch pełzający, pomimo że rozwiązania analityczne wskazują, że wahadło wykonuje wtedy drgania oscylacyjne (jest tak dla amplitud dowolnie mniejszych od 180°). Otrzymany wynik numeryczny jest efektem zaokrągleń numerycznych (por. np. epsilon maszynowy). Zwiększenie precyzji obliczeń może być osiągnięte za pomocą oprogramowania współczesnej arytmetyki dowolnej precyzji, która pozwala prowadzić obliczenia z dokładnością do wielu tysięcy cyfr znaczących, a jedyne ograniczenie stanowi dostępna pomięć komputera.
Generowanie wykresów drgań z użyciem funkcji sinus amplitudy Jacobiego
[edytuj | edytuj kod]Zamieszczony tu program w języku Python generuje wykresy dla dowolnych amplitud ; program korzysta m.in. z biblioteki scipy.special do liczenia całek eliptycznych oraz funkcji sn amplitudy Jacobiego. Program można testować, korzystając np. z darmowego notatnika colab google online.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import ellipk, ellipj
# Constants (can be changed) ---------------------
theta_0_deg_list = [10, 133, 160, 179.99999] # List of amplitudes in degrees
time_max = 3.2 # Time range in seconds
time_steps = 1000
plt.figure(figsize=(10, 10)) # Size of a plot
g = 9.81 # Acceleration due to gravity (m/s^2)
L = 0.25 # Length of the pendulum (m)
T_0 = 4 * np.sqrt(L / g) * ellipk(0) # Period for small amplitudes
# Calculations ---------------------
t = np.linspace(0, time_max, time_steps) # Time array
for theta_0_deg in theta_0_deg_list: # Loop through each amplitude theta_0
theta_0 = np.radians(theta_0_deg) # Convert to radians
k = np.sin(theta_0 / 2) # Elliptic modulus
T = 4*np.sqrt(L/g) * ellipk(k**2)/T_0 # Period of the pendulum
t_0 = 0 #T/4 # Time shift (can be changed)
u = np.sqrt(g/L) * (t+t_0) # Time parameter for theta_0
sn, cn, dn, ph = ellipj(u, k**2) # The Jacobi elliptic functions
theta = 2 * np.arcsin(k * sn) # Theta as a function of time
# Plotting the result for theta_0
plt.plot(t/T_0, np.degrees(theta), label=r'$\theta_0 = {}^\circ$'.format(theta_0_deg))
# Plot customization
plt.xlabel('time (s)', fontsize=20)
plt.ylabel('θ(t) [${}^\circ$]', fontsize=20)
plt.title('Nonlinear pendulum solutions for different amplitudes', fontsize=20)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=18)
plt.tick_params(axis='both', which='major', labelsize=18)
plt.show()
Analiza Fourierowska drgań wahadła
[edytuj | edytuj kod]Podstawowe wzory analizy Fourierowskiej
[edytuj | edytuj kod]Znając zależność kąta wychylenia od czasu można rozwinąć ją w szereg Fouriera:
gdzie:
- - okres drgań wahadła (dla dowolnej amplitudy drgań),
- - podstawowa częstotliwość kołowa w rozwinięciu funkcji w szereg Fouriera
Widmo Fouriera oscylacji zaczynających się od położenia równowagi
[edytuj | edytuj kod]Załóżmy, że wahadło zaczyna ruch od najniższego położenia pionowego i wykonuje oscylacje o dużej amplitudzie . Na rysunkach pokazano wykres zależności kąta wahadła od czasu, widmo Fouriera oraz przybliżenie sumą częściową szeregu Fouriera zawierającą wyrazy o indeksach :
Z analizy Fouriera widać, że wszystkie współczynniki zerują się (co oznacza, że widmo Fouriera nie ma składowych kosinusoidalnych), zaś niezerowe współczynniki mają indeksy nieparzyste. Dla drgań o bardzo dużej amplitudzie zależność kąta wahadła od czasu zawiera więc wiele składowych harmonicznych - w tym wypadku składowych sinusoidalnych o częstotliwościach razy większych od częstotliwości podstawowej . W ogólności mamy
Wynik ten oznacza, iż dla wahadła rozpoczynającego ruch w chwili od położenia równowagi zależność kąta odchylenia wahadła od pionu jest nieparzystą funkcją czasu, tj. Ponadto, dla dużych amplitud drgań częstotliwość podstawowa jest mniejsza niż dla małych drgań, gdyż rośnie okres drgań ze wzrostem amplitudy, więc częstotliwość maleje. Własności te uwidaczniają wykresy.
Widmo Fouriera oscylacji zaczynających się od maksymalnego wychylenia
[edytuj | edytuj kod]Dla wahadła rozpoczynającego ruch w chwili od maksymalnego wychylenia kątowego, zależność kąta odchylenia wahadła od pionu jest parzystą funkcją czasu, tj. i dlatego współczynniki w szeregu Fouriera są równe zero. Ponadto, współczynniki o parzystych indeksach zerują się, w tym składowa . Stąd otrzymuje się
tj. w widmie Fouriera takiego ruchu wahadła występują składowe harmoniczne o częstotliwościach razy większych od częstotliwości podstawowej .
Widmo Fourierowskie dowolnych drgań wahadła
[edytuj | edytuj kod]Z analizy Fourierowskiej wynika, że dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła zawiera nie jedną harmoniczną (jaką otrzymuje się w przybliżeniu funkcji sinus jednym wyrazem szeregu Maclaurina, tj. przyjmując - przy założeniu małych drgań), nie dwie harmoniczne (co otrzymuje się w rozwinięciu Maclaurina dwoma wyrazami, tj. przyjmując ), ale w ogólności składowych harmonicznych jest nieskończenie wiele. Amplitudy wyższych harmonicznych są określone przez współczynniki szeregu Fouriera. Wyższe harmoniczne mają coraz mniejsze amplitudy.
Rozwiązanie dokładne za pomocą nomu eliptycznego
[edytuj | edytuj kod]Niezwykle dokładne rozwiązanie równania wahadła otrzymuje się za pomocą szeregu Fouriera, w którym współczynniki całkowe i Fouriera przybliża się za pomocą tzw. nomu eliptycznego. Dla warunków początkowych (b) szereg ten ma postać[16][17]
gdzie:
- - amplituda drgań wahadła
- - moduł
- - całki eliptyczne zupełne 1. rzędu
- - tzw. nom eliptyczny
- - okres drgań (zależny od amplitudy poprzez moduł k), - częstotliwość drgań
- [n/2] oznacza tu dzielenie całkowite liczby n; np. dla liczb nieparzystych mamy:
Definiując
można przybliżyć wyrażeniem
Ponieważ dla , dlatego przybliżenie to jest znakomite nawet dla ekstremalnie dużych amplitud, bliskich Przykładową dokładności tej metody pokazuje wykres, gdzie uzyskano wynik obliczeń dla kąta =179.999998 stopni.
Uwaga: Takiej dokładności obliczeń jak tu pokazanych nie da się uzyskać za pomocą funkcji eliptycznej sn Jacobiego z biblioteki funkcji specjalnych języka Python (por. wykresy wyżej pokazane).
Ruch asymptotyczny wahadła
[edytuj | edytuj kod]Załóżmy, że wahadłu o długości , wiszącemu w pozycji pionowej, nadano energię kinetyczną równą energii potencjalnej , jaką ma wahadło w pozycji odwróconej, w górnym położeniu; z porównania obu wzorów wynika, że prędkość początkowa wahadła ma wartość
Prędkość kątową początkową wahadła określa wzór ; stąd
Rozwiązanie równania ruchu wahadła w takiej sytuacji przyjmuje postać [18]
gdzie .
Z równania tego wynika, że dla czasu dążącego do nieskończoności kąt odchylenia wahadła będzie asymptotycznie zbliżać się do wartości [rad], w której wahadło będzie w odwróconej pozycji; z faktu, iż ruch ten będzie trwał nieskończenie długo wynika, że ruch ten będzie odbywał się z coraz mniejszą prędkością. Ruch taki nazywa się ruchem asymptotycznym lub pełzającym. Jak widać, ruch ten jest aperiodyczny[18] .
Ruch obrotowy wahadła
[edytuj | edytuj kod]W przypadku ruchu obrotowego wahadła jego położenie kątowe opisuje funkcja [18]
gdzie:
- - funkcja amplitudy Jakobiego
- - odwrotność modułu funkcji eliptycznych Jacobiego
- - prędkość kątowa wahadła w chwili, gdy było w dolnym położeniu
Aby wahadło wykonywało ruch obrotowy, to jego początkowa prędkość kątowa musi spełniać warunek , co oznacza, że ruch obrotowy odbywa się przy odpowiednio dużej energii całkowitej, większej niż energia potencjalna wahadła, gdy jest w górnym, najwyższym położeniu. (Zależność tę łatwo wyprowadzić na podstawie rozważań z poprzedniego rozdziału.) Stąd wynika podany wyżej warunek, że .
Z wykresu widać, że położenie kątowe wahadła rośnie z upływem czasu - ruch bowiem odbywa się stale w tę samą stronę, przeciwnie niż ma to miejsce w przypadku oscylacji.
Okres ruchu obrotowego wahadła wyraża się wzorem [19]
gdzie to całka eliptyczna zupełna pierwszego rodzaju. Przez okres ruchu rozumie się w tym przypadku wykonanie przez wahadło pełnego obrotu wokół punktu zamocowania. Z wzoru tego wynika, że im większa jest początkowa prędkość kątowa to tym krótszy jest okres obrotu, co jest oczywiste.
Dla bardzo dużych wartości wartość modułu - wtedy można przybliżyć całkę eliptyczną do zerowego wyrazu rozwinięcia w szereg, tj. . Wtedy - wynik ten mówi, że gdy prędkość początkowa jest bardzo duża, to wahadło nie odczuwa wpływu siły ciążenia[20].
Uwagi:
(1) Wartość całki eliptycznej we wzorze na okres ruchu oblicza się tu dla modułu eliptycznego który jest odwrotnością parametru , inaczej niż w przypadku ruchu oscylacyjnego. Musi tak być z tego m.in. względu, że całka eliptyczna ma wartości rzeczywiste tylko gdy , tu zaś .
(2) Starsze wydanie W. Rubinowicz, W. Królikowski, Mechanika teoretyczna, omyłkowo podaje [21] . Z tego wzoru otrzymuje się liczbę zespoloną.
Całkowita energia mechaniczna a mody ruchu wahadła. Krzywe fazowe
[edytuj | edytuj kod]Jeżeli brak jest oporów ruchu (co tutaj zakładamy), to całkowita energia mechaniczna wahadła nie zmienia się; można ją przyjąć jako najogólniejszy parametr w analizie ruchu wahadła zamiast innych warunków początkowych[7]. Od wielkości całkowitej energii mechanicznej zależy bowiem, jaki rodzaj ruchu (mod) będzie wykonywać wahadło: ruch oscylacyjny, asymptotyczny czy rotacyjny.
Innym sposobem analizy układów nieliniowych, do których należy wahadło, jest analiza krzywych fazowych. W ogólnym przypadku są to krzywe, przedstawiające zależność prędkości uogólnionych od współrzędnych uogólnionych układu dynamicznego.
Krzywe fazowe w przypadku wahadła przedstawiają zależność prędkości kątowej wahadła od jego położenia kątowego. Równania krzywych fazowych zadaje się za pomocą równań parametrycznych , , gdzie parametrem jest czas ruchu .
Niech oznacza energię potrzebną do odchylenia wahadła z dolnego położenia równowagi do położenia górnego w pionie, tj. do odchylenia o kąt gdzie - długość wahadła.
Wykresy fazowe pozwalają odróżnić poszczególne przypadki ruchu[13]:
1) - wtedy wahadło wykonuje ruch oscylacyjny pomiędzy a . Krzywe fazowe są krzywymi zamkniętymi; kształt krzywych fazowych jest niezależny od warunków początkowych, zależy jedynie od energii całkowitej - im większa jest ta energia, tym dalej odsunięta jest krzywa od punktu .
2) - wtedy wahadło wykonuje ruch asymptotyczny i osiąga stan równowagi nietrwałej w punkcie , gdy poruszało się przeciwnie do założonego dodatniego kierunku obrotu lub w punkcie lub , gdy poruszało się zgodnie z nim; zależnie od tego mamy dwie otwarte krzywe fazowe; krzywe te stykają się ze sobą w punktach oraz .
3) - wtedy wahadło wykonuje ruch obrotowy, co oznacza że kąt obrotu stałe zwiększa swoją wartość. Krzywe fazowe są krzywymi otwartymi; kształt krzywych fazowych jest niezależny od warunków początkowych, zależy jedynie od energii całkowitej - im większa jest ta energia, tym dalej odsunięta jest krzywa od punktu .
Uniwersalny parametr k. Równania krzywych parametrycznych
[edytuj | edytuj kod]Jak powiedziano wyżej, kształt krzywych fazowych nie zależy od założonych warunków początkowych, a jedynie od energii całkowitej wahadła. Warunki początkowe mają jedynie wpływ na postać równań, opisujących krzywe. Poniżej zestawiono równania parametryczne krzywych fazowych przy założeniu, iż w chwili początkowej wahadło przechodziło z pewną prędkością kątową przez położenie równowagi. W równaniach użyto parametru , gdzie . Parametr ten jest bezwymiarowy, co powala opisać mody ruchu wahadła w sposób uniwersalny (niezależnie od rozmiaru wahadła):
a) ruch oscylacyjny:
b) ruch asymptotyczny:
c) ruch rotacyjny:
Powyższe warunki łatwo wyprowadzić z zasady zachowania energii mechanicznej:
- całkowita energia mechaniczna wahadła, równa jego energii kinetycznej ruchu obrotowego w chwili początkowej. Z warunku otrzymamy
- ,
co daje:
Stąd mamy . Pozostałe dwa warunki wyprowadza się analogicznie.
Wzory na prędkość kątową wyprowadza się z zależności . Wymaga to znajomości pochodnych funkcji eliptycznych Jacobiego oraz funkcji amplitudy am Jacobiego (por. funkcje eliptyczne Jacobiego).
1) Ruch oscylacyjny
Równania parametryczne krzywych fazowych:
gdzie: - arcus sinus, - funkcje eliptyczne sinus i cosinus Jacobiego
2) Ruch asymptotyczny
Równania parametryczne krzywych fazowych:
gdzie: - arcus tangens, - cosinus hiperboliczny
3) Ruch rotacyjny
Równania parametryczne krzywych fazowych:
gdzie: - funkcja eliptyczna amplitudy Jacobiego, - funkcja eliptyczna delta Jacobiego
Symulacje ruchu wahadła i odpowiadające im krzywe fazowe
[edytuj | edytuj kod]-
Kąt początkowy 0°, równowaga trwała.
-
Amplituda drgań 45°
-
Amplituda drgań 90°
-
Amplituda drgań 135°
-
Amplituda drgań 170°
-
Kąt początkowy 180°, równowaga nietrwała.
-
Wahadło o energii nieco większej niż potrzebna na pełny obrót.
-
Wahadło o energii znacznie większej niż minimalna potrzebna na pełny obrót.
Uniwersalność wzoru opisującego ruch wahadła. Co oznacza g?
[edytuj | edytuj kod]Równanie ruchu wahadła jest uniwersalne - jest słuszne nie tylko dla drgań na Ziemi, ale dla drgań na dowolnym ciele niebieskim (jeśli takie wahadło można by tam zainstalować); np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi, identyczne wahadło miałoby razy dłuższy okres drgań.
Jest też słuszne np. w windzie, spadającej z przyspieszeniem w kierunku Ziemi. Gdyby winda poruszała się z przyspieszeniem ziemskim, to przedmioty znajdujące się w niej byłyby w stanie nieważkości. Wyjaśnienie tego jest następujące: do opisu ruchu wahadła w układzie odniesienia związanym z windą, który z racji ruchu przyspieszonego względem Ziemi jest układem nieinercjalnym, trzeba wprowadzić oprócz siły grawitacji siłę bezwładności - jeżeli winda poruszałaby się z przyspieszeniem ziemskim, to siła ciężkości ciała byłaby równoważona przez siłę bezwładności, działającej na to ciało - ciało byłoby się w stanie nieważkości. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywałoby (było w równowadze trwałej) albo poruszało się ruchem jednostajnym po okręgu[22].
W równaniu ruchu wahadła współczynnik należy więc rozumieć jako przyspieszenie ciał swobodnie spadających, mierzone w układzie nieruchomym względem punktu zamocowania nici wahadła. Łatwo pokazać zgodność powyższych efektów (obserwowanych np. w stacjach krążących wokół Ziemi) z opisem matematycznym: Z równania ogólnego ruchu wahadła dla otrzymamy proste równanie różniczkowe
z którego natychmiast wynika rozwiązanie:
- ,
gdzie: - położenie kątowe początkowe wahadła, - początkowa prędkość kątowa, nadana wahadłu.
Gdy , to wahadło będzie w pozycji nieruchomej; w przeciwnym razie będzie wykonywać ruch jednostajny po okręgu.
Opis ruchu wahadła w ramach mechaniki Lagrange'a
[edytuj | edytuj kod]Z definicji wahadła prostego, jego ruch jest ograniczony przez więzy do ruchu po okręgu. Suma składowych sił działających na ciało prostopadłe do toru ruchu jest siłą dośrodkową, jej wartość określa wzór[23]
przy czym znak „minus” jest dlatego, że siła działa w stronę środka okręgu, przeciwnie do zwrotu współrzędnej układu współrzędnych biegunowych. Zależność tej siły od kąta można określić wyznaczając prędkość wahadła z zasady zachowania energii, co daje[23]
gdzie – kąt maksymalnego odchylenia wahadła.
Siłę napięcia nici określa wzór[23]
W przyjętym tu układzie współrzędnych biegunowych, który jest zgodny z więzami, wyznaczenie siły reakcji więzów jest niepotrzebne do opisu ruchu wahadła. Wyznaczenie tej siły byłoby konieczne, gdyby siły opisywać w układzie współrzędnych kartezjańskich. Dobór układu współrzędnych zgodnych z więzami stanowi podstawę sformułowania mechaniki klasycznej w ujęciu mechaniki Lagrange’a.
W ramach mechaniki Lagrange'a wyprowadza się równanie ruchu wahadła matematycznego (pomijamy to tutaj). Jednak metoda Lagrange'a, która zrodziła się w rozwiazywaniu problemów klasycznej fizyki, znajduje znacznie poważniejsze zastosowania we współczesnej teorii pola (w fizyce cząstek elementarnych), gdzie równania ruchu cząstek wyprowadza się poprzez konstrukcję odpowiedniego Lagranżjanu.
Wahadło matematyczne – tabela okresów drgań dla dowolnie dużych amplitud
[edytuj | edytuj kod]2° | 1.0001 | 22° | 1.0093 | 42° | 1.0347 | 62° | 1.0785 | 82° | 1.1454 | 102° | 1.2439 | 122° | 1.3905 | 142° | 1.6238 | 162° | 2.0724 |
4° | 1.0003 | 24° | 1.0111 | 44° | 1.0382 | 64° | 1.0841 | 84° | 1.1537 | 104° | 1.2560 | 124° | 1.4090 | 144° | 1.6551 | 164° | 2.1453 |
6° | 1.0007 | 26° | 1.0130 | 46° | 1.0418 | 66° | 1.0898 | 86° | 1.1622 | 106° | 1.2686 | 126° | 1.4283 | 146° | 1.6884 | 166° | 2.2284 |
8° | 1.0012 | 28° | 1.0151 | 48° | 1.0457 | 68° | 1.0959 | 88° | 1.1711 | 108° | 1.2817 | 128° | 1.4485 | 148° | 1.7240 | 168° | 2.3248 |
10° | 1.0019 | 30° | 1.0174 | 50° | 1.0498 | 70° | 1.1021 | 90° | 1.1803 | 110° | 1.2953 | 130° | 1.4698 | 150° | 1.7622 | 170° | 2.4394 |
12° | 1.0027 | 32° | 1.0199 | 52° | 1.0540 | 72° | 1.1087 | 92° | 1.1899 | 112° | 1.3096 | 132° | 1.4922 | 152° | 1.8033 | 172° | 2.5801 |
14° | 1.0037 | 34° | 1.0225 | 54° | 1.0585 | 74° | 1.1155 | 94° | 1.1999 | 114° | 1.3244 | 134° | 1.5157 | 154° | 1.8478 | 174° | 2.7621 |
16° | 1.0049 | 36° | 1.0252 | 56° | 1.0632 | 76° | 1.1225 | 96° | 1.2103 | 116° | 1.3399 | 136° | 1.5405 | 156° | 1.8962 | 176° | 3.0193 |
18° | 1.0062 | 38° | 1.0282 | 58° | 1.0681 | 78° | 1.1299 | 98° | 1.2210 | 118° | 1.3560 | 138° | 1.5667 | 158° | 1.9492 | 178° | 3.4600 |
20° | 1.0077 | 40° | 1.0313 | 60° | 1.0732 | 80° | 1.1375 | 100° | 1.2322 | 120° | 1.3729 | 140° | 1.5944 | 160° | 2.0075 | 180° |
W powyższej tabeli zamieszczono wartości względne okresów drgań wahadła nietłumionego w zależność od amplitudy drgań , gdzie - okres małych drgań:
przy czym . Powyższy wzór wynika z zależności[8]
skąd w szczególności dla mamy
Potrzebne w obliczeniach tabeli wartości całek eliptycznych zupełnych pierwszego rodzaju są stabelaryzowane (patrz tu – należy odszukać kąt i odczytać wartość całki ).
Na podstawie pokazanej tu tabeli można wyznaczyć okres drgań wahadła o amplitudzie i długości mnożąc wartość odczytaną z tabeli przez (gdyż ). Tabela ta może służyć też do testowania algorytmów obliczania złożonych ruchów, co omówiono poniżej.
Drgania tłumione i wymuszone wahadła matematycznego
[edytuj | edytuj kod]W omówionych tu zagadnieniach opisane były drgania swobodne wahadła matematycznego i fizycznego, tj. drgania odbywające się jedynie pod wpływem siły ciężkości oraz siły reakcji nici czy podpory. Siły grawitacji są siłami zachowawczymi. Podobnie zachowawcze są rozważane tu siły reakcji, gdy punkt zaczepienia nici jest nieruchomy (siła reakcji nie zależy wtedy jawnie od czasu i działa prostopadle do chwilowego kierunku ruchu wahadła; w konsekwencji taka siła reakcji nie wykonuje pracy). Energia mechaniczna wahadła poddanego działaniu tylko tych sił byłaby zachowana i w konsekwencji powodowałaby jego nieustanny ruch[24].
Rzeczywiste układy drgające wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzymują się pod wpływem oporów ruchu (np. oporów powietrza), chyba że działa na nie siła wymuszająca ruch, jak to jest w przypadku wahadeł zegarów. Uwzględnienie sił oporów ruchu lub sił wymuszających ruch prowadzi do równań wahadła tłumionego lub wymuszonego (por. Ruch harmoniczny tłumiony oraz Oscylator harmoniczny wymuszony)[25]. Rozwiązanie tych równań w ogólnym przypadku jest niezwykle złożone. Z pomocą przychodzą metody numeryczne, niżej omówione.
Całkowanie numeryczne równań ruchu wahadła matematycznego
[edytuj | edytuj kod]Wahadło nietłumione
[edytuj | edytuj kod]Równanie ogólne drgań wahadła matematycznego, podane na początku artykułu, jest równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu. Pokazane wyżej metody analityczne rozwiązania tego równania odwołują się do funkcji eliptycznych Jacobiego, które są funkcjami nieelementarnymi.
Równanie to można także rozwiązać efektywnie metodami numerycznymi, np. stosując metody Rungego-Kutty. Metoda polega na tym, że wprowadzając nową zmienną (która de facto ma sens prędkości kątowej wahadła) równanie to sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu
a następnie układ tych równań rozwiązuje się iteracyjnie, znajdując np. zależność kata odchylenia wahadła w zależności od dyskretnych chwil czasu czy też okres drgań (Przykład kodu programu w C++ podano tutaj)
Wahadło tłumione, z siłą wymuszającą
[edytuj | edytuj kod]Znalezienie rozwiązania analitycznego równania ruchu złożonych układów fizycznych jest w ogólnym przypadku niemożliwe. Jednak metody numeryczne pozwalają efektywnie rozwiązywać te równania ruchu. Np. równanie ruchu wahadła z tłumieniem i z siłą wymuszającą ma postać
gdzie:
- – współczynnik tłumienia,
- – siła wymuszająca, zależna dowolnie od czasu.
Wprowadzając nową zmienną powyższe równanie sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu
Układ ten rozwiązuje się iteracyjnie, np. metodą Rungego-Kutty, co prowadzi do znalezienia dyskretnych wartości w zależności od dyskretnych chwil czasu w zadanym przedziale całkowania równań. (Przykład kodu programu w języku python, wraz z generowaniem wykresów drgań, podano tutaj).
Wahadło fizyczne
[edytuj | edytuj kod]Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w jednorodnym polu grawitacyjnym, która wykonuje drgania polegające na obrotach wokół tej osi raz w jedną, raz w drugą stronę. Na wychylone z położenia równowagi wahadło działa moment siły[1]:
Stąd, korzystając z II zasady dynamiki ruchu obrotowego, otrzymuje się równanie ruchu wahadła fizycznego
gdzie:
- – odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości bryły,
- – przyspieszenie ziemskie,
- – moment bezwładności wahadła względem osi obrotu,
- – masa wahadła.
Podstawiając do powyższego równania tzw. długość zredukowaną
równanie ruchu wahadła fizycznego przyjmie identyczną postać jak równanie ruchu wahadła matematycznego. Oznacza to, że wszystkie wnioski dotyczące ruchu wahadła fizycznego są identyczne z wnioskami dotyczącymi wahadła matematycznego. Przykładowo okres drgań wahadła fizycznego dany jest wzorem[1]:
czyli wzorem, jakie miałoby wahadło matematyczne o długości równej długości zredukowanej wahadła fizycznego.
Ze względu na powyższą równoważność:
- Opis ruchu wahadła matematycznego jest wystarczający do określenia ruchu wszystkich typów wahadeł fizycznych.
Wahadło matematyczne jako szczególne wahadło fizyczne
[edytuj | edytuj kod]Z drugiej strony wahadło matematyczne, które jest masą punktową zawieszoną na nieważkiej nici, może być traktowane jako szczególna bryła sztywna, ma bowiem ściele określony moment bezwładności i odległość od środka obrotu do środka masy, danych oczywistymi wzorami:[1]
Zastosowania wahadła fizycznego
[edytuj | edytuj kod]Wahadło fizyczne stosuje się jako przyrząd do dokładnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego[1]. Przykładem wahadła do pomiaru przyspieszenia ziemskiego (oraz jako przyrządu dydaktycznego) jest wahadło rewersyjne.
Inne rodzaje wahadeł
[edytuj | edytuj kod]W fizyce rozważa się kilka modeli wahadeł, które nie spełniają założeń wahadła matematycznego lub fizycznego. Przykładami są:
- wahadło sferyczne – ciało na nierozciągliwej nici, ale jego ruch nie jest ograniczony do płaszczyzny,
- wahadło stożkowe – ciało na nierozciągliwej nici, a ciało porusza się po okręgu,
- wahadło podwójne – ciało wahadła jest punktem zawieszenia kolejnego wahadła, może być rozważane jako płaskie i sferyczne, matematyczne i fizyczne,
- wahadło elastyczne (z rozciągliwą nicią)
- tautochrona (wahadło cykloidalne) – wahadło o okresie niezależnym od amplitudy drgań[26][27] (niżej omówione),
- wahadło Foucaulta (niżej omówione)
Inne układy drgające:
Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy
[edytuj | edytuj kod]Problemem konstruowania dokładnych zegarów wahadłowych, których szybkość chodu nie zależy od amplitudy drgań, zajmował się Christiaan Huygens, wykazał, że niezależność szybkości chodu zapewni zmniejszanie długość nici wahadła wraz z wychyleniem; następnie wykazał, że zrealizuje to wahadło cykloidalne, tj. wahadło, w którym nić lub elastyczny element zawieszenia, będzie owijać się na cykloidzie o poziomej osi i promieniu równym ćwierci długości wahadła. W ten sposób skonstruował wahadło o okresie niezależnym od amplitudy[28].
Problem wahadła o okresie niezależnym od amplitudy sprowadza się do wyznaczenia takiej krzywej, że ciało poruszając pod działaniem stałej siły grawitacji po niej w takim samym czasie przemieści się od punktu ruszenia do jej najniższego punktu. Krzywa zwana jest tautochroną i jest cykloidą[29].
Wahadło Foucaulta
[edytuj | edytuj kod]Płaszczyzna drgań wahadła znajdującego się na Ziemi poza równikiem powoli obraca się względem Ziemi. Zjawisko to można wyjaśnić jako efekt działania siły Coriolisa wywołanej ruchem wahadła na obracającej się Ziemi. Wahadło umożliwiające obserwację tego efektu, jest nazywane wahadłem Foucaulta[30].
Okres obrotu płaszczyzny wahadła w dla obserwatora znajdującego się na obracającej się Ziemi opisuje wzór[30]:
gdzie – szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło. Np. dla szerokości geograficznej 52° (okolice Warszawy) okres wahadła Foucaulta wynosi około 30 h 27 min i maleje ze wzrostem szerokości geograficznej. Na biegunach okres ten wynosi 24 h.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- Przyrządy będące wahadłami
- wahadło balistyczne
- wahadło Newtona
- wahadło Oberbecka
- wahadło radiestezyjne
- wahadło rewersyjne
- wahadło zegarowe
- Oscylatory
- oscylator anharmoniczny
- oscylator Duffinga - silnie nieliniowy
- oscylator harmoniczny
- oscylator van der Pola
- oscylator harmoniczny kwantowy
- drgania nieliniowe
- Inne
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c d e f g h Resnick i Halliday 1999 ↓, s. 361–364.
- ↑ Huygens’ Clocks. [dostęp 2015-05-01].
- ↑ a b Victor F. Lenzen, Robert P. Multhauf. Development of Gravity Pendulums in the 19th Century. „On Science and Technology”. papers 34-44. On Science and Technology, Smithsonian Institution.
- ↑ a b c d Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 91.
- ↑ Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 44.
- ↑ Oscillations and Fourier Analysis. [dostęp 2016-09-10].
- ↑ a b Landau i Lifszyc 2011 ↓, s. 41–46.
- ↑ a b c Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 97.
- ↑ a b c G. Białkowski, s. 244
- ↑ Gaetan Kerschen, Douglas Adams, Alex Carrella: Topics in Nonlinear Dynamics, Volume 1. T. 1: Proceedings of the 31st IMAC, A Conference and Exposition on Structural Dynamics. ISBN 978-1-4614-6570-6.
- ↑ Kalkulator okresów drgań wahadła matematycznego dla dowolnej amplitudy. (ang.).
- ↑ a b Wróblewski i Zakrzewski 1976 ↓, s. 340–343.
- ↑ a b c d Kittel, Knight i Ruderman 1993 ↓, s. 256–257.
- ↑ Eric W. Weisstein , Elliptic Integral of the First Kind, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2015-04-25] (ang.).
- ↑ a b Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 96.
- ↑ Derek F. Lawden , Elliptic Functions and Applications, Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-96965-9 . Eq. 2.7.9:
- ↑ W.P. Reinhardt , P.L. Walker , Jacobian Elliptic Functions .
- ↑ a b c Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 98.
- ↑ G. Białkowski 1975 ↓, s. 243.
- ↑ G. Białkowski 1975 ↓, s. 244.
- ↑ Królikowski i Rubinowicz 1967 ↓, s. 99.
- ↑ Wróblewski i Zakrzewski 1984 ↓, s. 371.
- ↑ a b c Wróblewski i Zakrzewski 1984 ↓, s. 340–342.
- ↑ Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 64, 72.
- ↑ Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 47–58.
- ↑ Alan Emmerson: Things Are Seldom What They Seem – Christiaan Huygens, the Pendulum and the Cycloid. [dostęp 2015-04-25].
- ↑ Eric W. Weisstein , Tautochrone Problem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2015-04-25] (ang.).
- ↑ Alan Emmerson: Things Are Seldom What They Seem – Christiaan Huygens, the Pendulum and the Cycloid. [dostęp 2015-04-25].
- ↑ Marek Kordos: Pierwszy nowoczesny zegarmistrz. [dostęp 2015-05-10]. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-07-09)].
- ↑ a b Wróblewski i Zakrzewski 1976 ↓, s. 171–172.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- G. Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s.238-245.
- M. Jeżewski, Fizyka, PWN, Warszawa 1966.
- C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman: Mechanika. Warszawa: PWN, 1993.
- W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012.
- Lew Dawidowicz Landau, E.M. Lifszyc: Mechanika. Warszawa: PWN, 2011.
- Robert Resnick, David Halliday: Fizyka. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-09323-4.
- A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Ćwiczenie Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego. kf.imif.uph.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2015-04-13)]. – w ramach zestawu ćwiczeń do fizyki na Wydziale Nauk Ścisłych Uniwersytetu Przyrodniczo-Humanistycznego w Siedlcach
- Wahadło fizyczne (ang.)