Minor

Ten artykuł dotyczy wyznacznika macierzy. Zobacz też: Minor – jednostka osadnicza w USA, Minor – osada w Rosji.

Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn^[1]. Minor główny to wyznacznik macierzy utworzonej z elementów danej macierzy, znajdujących się na przecięciu jej wierszy i kolumn o równych indeksach. Minor główny wiodący to wyznacznik macierzy kwadratowej utworzonej z elementów danej macierzy, znajdujących się na przecięciu jej początkowych wierszy i kolumn, zaczynając od lewego górnego rogu tej macierzy.

Minory odgrywają istotną rolę w algebrze liniowej i analizie matematycznej. Wykorzystuje się je m.in. przy wyznaczaniu macierzy odwrotnej oraz w kryterium Sylvestera, służącym do badania określoności macierzy. W przypadku macierzy Hessego kryterium to umożliwia określenie charakteru punktu krytycznego funkcji wielu zmiennych, tj. rozstrzygnięcie, czy jest to ekstremum (minimum, maksimum), czy punkt siodłowy.

Def. 1 Minora stopnia ${\displaystyle k}$

Minorem stopnia ${\displaystyle k}$ macierzy ${\displaystyle A}$ o rozmiarach ${\displaystyle m\times n}$, gdzie ${\displaystyle k\in \{1,2,\dots ,\min(m,n)\}}$, nazywa się wyznacznik podmacierzy kwadratowej o wymiarach ${\displaystyle k\times k}$ otrzymanej z macierzy ${\displaystyle A}$ poprzez pozostawienie jej elementów znajdujących się na przecięciach ${\displaystyle k}$ wybranych wierszy oraz ${\displaystyle k}$ wybranych kolumn (a wykreśleniu pozostałych elementów ${\displaystyle m-k}$ wierszy oraz ${\displaystyle n-k}$ kolumn).

Ściślej, wybiera się zbiór indeksów wierszy ${\displaystyle I=\{i_{1},\dots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\dots ,m\},}$ oraz zbiór indeksów kolumn ${\displaystyle J=\{j_{1},\dots ,j_{k}\}\subseteq \{1,\dots ,n\}.}$ Macierz złożoną z przecięć tych wierszy i kolumn oznacza się jako ${\displaystyle A[I,J],}$ a odpowiedni wyznacznik ${\displaystyle \det A[I,J]}$ nazywa się minorem stopnia ${\displaystyle k}$.

Def. 2 Stopnia minora

Stopień minora to wymiar macierzy ${\displaystyle k\times k}$, wyciętej z danej macierzy ${\displaystyle A}$ o rozmiarach ${\displaystyle m\times n}$, gdzie ${\displaystyle k\in \{1,2,\dots ,\min(m,n)\}}$.

Def. 3 Minora głównego stopnia ${\displaystyle k}$

Minorem głównym nazywamy minor, który utworzono z wyznacznika macierzy wybierając ${\displaystyle k}$ wierszy i ${\displaystyle k}$ kolumn o tych samych zbiorach indeksów, tj. ${\displaystyle I=J}$.

Def. 4 Minorów głównych wiodących

Minorem głównym wiodącym stopnia ${\displaystyle k}$ nazywa się minor utworzony z lewego górnego bloku macierzy, powstały z kolumn i wierszy wyznacznika macierzy o indeksach ${\displaystyle I=J=\{1,2,\dots ,k\}.}$

Innymi słowy: Minorami wiodącymi głównymi macierzy ${\displaystyle A}$ nazywamy minory utworzone z górnego lewego pod-bloku o wymiarach ${\displaystyle k\times k}$, wycięte z macierzy ${\displaystyle A}$, tj. minory postaci

${\displaystyle M_{k}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1l}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2l}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{l1}&a_{l2}&\dots &a_{ll}\end{bmatrix}},\quad k=1,2,\dots ,n}$,

gdzie ${\displaystyle \det }$ oznacza operację obliczenia wyznacznika macierzy. Np.

${\displaystyle M_{1}=a_{11},}$    ${\displaystyle M_{2}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{22}}$, ${\displaystyle M_{3}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$- minory główne wiodące: pierwszy, drugi i trzeci

Uwaga: Oznaczenia

Niekiedy minory macierzy oznacza się symbolami: ${\displaystyle (A_{i}),}$ ${\displaystyle (A^{a}),}$ ${\displaystyle (A_{i}A_{j}A_{k}),}$ ${\displaystyle (A^{a}A^{b}A^{c}),}$ itd., gdzie ${\displaystyle (A_{i})}$ są kolumnami, ${\displaystyle (A^{a})}$ wierszami danej macierzy.

Tw. Macierz kwadratowa ${\displaystyle n\times n}$ ma ${\displaystyle n}$ minorów głównych wiodących.

Dowód: Wynika to z faktu, że dla każdej liczby ${\displaystyle k}$ od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle n}$ istnieje dokładnie jeden wiodący minor główny, tj. wyznacznik podmacierzy utworzonej z pierwszych ${\displaystyle k}$ wierszy i pierwszych ${\displaystyle k}$ kolumn.

Tw. Macierz kwadratowa ${\displaystyle n\times n}$ ma ${\displaystyle 2^{n}-1}$ minorów głównych.

Dowód: Wynika to z faktu, że dla każdego zbioru indeksów wierszy i kolumn (ten sam zbiór dla obu) można wyznaczyć minor główny. Liczba takich zbiorów niepustych to właśnie ${\displaystyle 2^{n}-1}$.

Liczba minorów głównych rośnie eksponencjalnie ze wzrostem wymiaru ${\displaystyle n}$ macierzy. Wartości dla ${\displaystyle n=1,2,\dots ,10}$ pokazuje tabela.

Liczba minorów głównych macierzy ${\displaystyle n\times n}$
${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle 2^{n}-1}$	1	3	7	15	31	63	127	255	511	1023

Niekiedy minorami głównymi nazywa się omyłkowo minory główne wiodące, jednak może to prowadzić do istotnych błędów.

Np. w przypadku kryterium Sylvestera badanie określoności (dodatniej i ujemnej) macierzy wymaga liczenia jedynie minorów głównych wiodących, których jest ${\displaystyle n}$, natomiast badanie półokreśloności (dodatniej i ujemnej) wymaga już liczenia minorów głównych, których jest ${\displaystyle 2^{n}-1}$. Np. dla macierzy ${\displaystyle 10\times 10}$ mamy ${\displaystyle 10}$ minorów głównych wiodących, zaś głównych aż ${\displaystyle 1023}$. Sprawdzenie kryterium tylko dla minorów głównych wiodących może dać błędną klasyfikację określoności macierzy.

Np. macierz ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$ ma minory główne wiodące ${\displaystyle D_{1}=0}$, ${\displaystyle D_{2}=0}$, co eliminuje dodatnią i ujemną określoność, ale nie rozstrzyga, która z pozostałych trzech alternatyw (półokreśloność dodatnia, ujemna, nieokreśloność, degeneracja) zachodzi w tym przypadku - trzeba liczyć minory główne; tu jest tylko jeden dodatkowy minor główny stopnia 1 (który nie jest wiodący), który ma wartość równą ${\displaystyle -1}$; ponieważ minory główne tworzą sekwencję znaków ${\displaystyle -1/0,0}$, to macierz jest ujemnie półokreślona (por. dalej - kryterium Sylvestera).

Liczba wszystkich minorów macierzy ${\displaystyle n\times n}$ wynosi ${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}\!-\!1.}$ Nawet dla niedużych wymiarów ${\displaystyle n=8,9,10}$ wyraża się wielkimi liczbami.

Liczba wszystkich minorów macierzy ${\displaystyle n\times n}$
${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\!\!-\!\!1}$	1	5	19	69	251	923	3431	12869	48619	184755

Niech dana będzie macierz

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&3&4&2\\0&3&1&1\\7&1&3&4\end{bmatrix}}}$

typu ${\displaystyle 3\times 4}$ nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wykreślając wiersz 2 oraz kolumny 2 i 3 pozostawiamy elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru ${\displaystyle I=\{1,3\}}$ z kolumnami o indeksach ze zbioru ${\displaystyle J=\{1,4\}}$; powstaje minor stopnia 2:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&|&|&2\\|&|&|&|\\7&|&|&4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2\\7&4\end{vmatrix}}}$

Minor ten nie jest główny, ponieważ ${\displaystyle I\neq J.}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{2\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{3\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3}$

tj. elementy na przekątnej macierzy, wyznaczonej przez jej lewy górny róg'

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,2\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix}}=3}$ - utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach ${\displaystyle {\text{I}}=\{1,2\}}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,3\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&4\\7&3\end{bmatrix}}=-25}$ - utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach ${\displaystyle {\text{I}}=\{1,3\}}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{2,3\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}=8}$ - utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach ${\displaystyle {\text{I}}=\{2,3\}}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,2,3\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&3&4\\0&3&1\\7&1&3\end{bmatrix}}=-55}$

Minory główne wiodące macierzy ${\displaystyle P}$ w rosnącym porządku stopni 1, 2, 3:

• ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}$, ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix}}=3}$, ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&3&4\\0&3&1\\7&1&3\end{bmatrix}}=-55}$

Rozważmy macierz ${\displaystyle S={\begin{bmatrix}5&1&0\\1&3&1\\0&1&2\end{bmatrix}}.}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}=5}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{2\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{3\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}=2}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,2\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}5&1\\1&3\end{bmatrix}}=14}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,3\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}5&0\\0&2\end{bmatrix}}=10}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{2,3\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3&1\\1&2\end{bmatrix}}=5}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,2,3\}}$: ${\displaystyle \det S=23}$

• ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}=5}$, ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}5&1\\1&3\end{bmatrix}}=14}$, ${\displaystyle \det S=23}$

Wszystkie minory główne wiodące są dodatnie. Z kryterium Sylvestera (por. dalej) wynika, że macierz ${\displaystyle S}$ jest dodatnio określona.

Forma kwadratowa jest to funkcja wielu zmiennych rzeczywistych na przestrzeń rzeczywistą. Każdej takiej funkcji odpowiada macierz, taka że ${\displaystyle f(x)=x^{T}\!Mx}$.

Np. dla funkcji trzech zmiennych ${\displaystyle f:R^{3}\to R}$ mamy ${\displaystyle x={\bigl [}{\begin{smallmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{smallmatrix}}{\bigr ]},\,x^{T}={\bigl [}{\begin{smallmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$. Wtedy macierz formy ${\displaystyle M}$ ma wymiar 3x3.

Badanie określoności formy kwadratowej stanowi ważny element analizy matematycznej, służąc np. do określania ekstremów funkcji wielu zmiennych (istotne np. w zagadnieniach optymalizacji).

Badanie to można sprowadzić na równoważne mu badanie określoności macierzy, przypisanej do formy. Liczenie minorów głównych macierzy stanowi podstawę kryterium Sylvestera (por. dalej), służącego do weryfikacji typu określoności macierzy.

Pomimo że wiele macierzy można użyć do zapisania formy kwadratowej w sposób równoważny, to do badania określoności formy można użyć tylko macierzy symetrycznej. Jeżeli macierz ${\displaystyle M}$ formy nie jest symetryczna, to trzeba podzielić ją na części symetryczną ${\displaystyle S=(M+M^{T})/2}$ i antysymetryczną ${\displaystyle A=(M-M^{T})/2}$ i badać określoność części symetrycznej (${\displaystyle M^{T}}$oznacza macierz transponowaną macierzy ${\displaystyle M}$). Taka procedura ma następujące uzasadnienie: jeśli ${\displaystyle M=S+A}$, to ${\displaystyle f(x)=x^{T}\!Mx=x^{T}\!Sx}$, tj. wartość formy jest równa wartości obliczonej z użyciem części symetrycznej macierzy formy, zaś ${\displaystyle x^{T}\!Ax=0}$. Dlatego badanie określoności formy kwadratowej poprzez badanie określoności jej macierzy sprowadza się do badania określoności części symetrycznej tej macierzy.

Rozważmy macierz ${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1>0}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{2\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}=5>0}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{3\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}9\end{bmatrix}}=9>0}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,2\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&2\\4&5\end{bmatrix}}=-3<0}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,3\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&3\\7&9\end{bmatrix}}=-12<0}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{2,3\}}$: ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}5&6\\8&9\end{bmatrix}}=-3<0}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,2,3\}}$: ${\displaystyle \det A=0}$

Definicja minorów dozwala ich liczenie dla macierzy niesymetrycznych. Jednak, jak to wyżej omówiono, o określoności macierzy można mówić tylko w kontekście macierzy symetrycznych. Wydzielimy więc z macierzy ${\displaystyle M}$ jej część symetryczną:${\displaystyle \displaystyle S={\frac {1}{2}}(M+M^{T})={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}2&6&10\\[4pt]6&10&14\\[4pt]10&14&18\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&5\\[4pt]3&5&7\\[4pt]5&7&9\end{bmatrix}}}$

Analogicznie, część antysymetryczna ma postać

${\displaystyle \displaystyle A={\frac {1}{2}}(M-M^{T})={\begin{bmatrix}0&-1&-2\\[4pt]1&0&-1\\[4pt]2&1&0\end{bmatrix}}}$

Łatwo sprawdzić, że suma tych macierzy daje macierz wyjściową, tj. ${\displaystyle S+A=M}$. Teraz zestawimy minory główne macierzy ${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1\}:\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{2\}:\det {\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}=5}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{3\}:\det {\begin{bmatrix}9\end{bmatrix}}=9}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,2\}:\det {\begin{bmatrix}1&3\\3&5\end{bmatrix}}=-4}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,3\}:\det {\begin{bmatrix}1&5\\5&9\end{bmatrix}}=-16}$
• ${\displaystyle {\text{I=}}\{2,3\}:\det {\begin{bmatrix}5&7\\7&9\end{bmatrix}}=-4}$

• ${\displaystyle {\text{I=}}\{1,2,3\}:\det {\begin{bmatrix}1&3&5\\3&5&7\\5&7&9\end{bmatrix}}=0}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&3\\3&5\end{bmatrix}}=-4}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&3&5\\3&5&7\\5&7&9\end{bmatrix}}=0}$

Widać, że minory główne macierzy ${\displaystyle S}$ mają sekwencję znaków ${\displaystyle +-0}$ (idąc od 1-go stopnia), co wyklucza wg kryterium Sylvestera (por. dalej), by macierz ${\displaystyle S}$ była określona dodatnio, określona ujemnie, półokreślona dodatnio i półokreślona ujemnie. Wynika stąd, że macierz jest nieokreślona.

Kryterium Sylvestera - to zespół warunków, pozwalających wnioskować o typie określoności macierzy kwadratowych ${\displaystyle n\times n}$ symetrycznych (o elementach będących liczbami rzeczywistymi) i hermitowskich (o elementach będących liczbami zespolonymi):

Macierz kwadratowa wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ jest

(a) dodatnio określona ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ wszystkie minory główne wiodące są ${\displaystyle >0}$, tj.

• sekwencja znaków minorów ${\displaystyle (++++++...)}$
• Wniosek dla ekstremów: minimum lokalne (wykres funkcji ma kształt misy)

(b) ujemnie określona ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ wszystkie minory główne wiodące stopnia nieparzystego są ${\displaystyle <0}$, a parzystego ${\displaystyle >0}$, tj.

• sekwencja znaków minorów (licząc od minora 1-go stopnia) ${\displaystyle (-+-+-+...)}$
• Wniosek dla ekstremów: maksimum lokalne (wykres funkcji ma kształt kopuły)

(c) dodatnio półokreślona ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ wszystkie minory główne (nie tylko wiodące) są ${\displaystyle \geqslant 0}$, tj.

• sekwencja znaków ${\displaystyle (+/0,+/0,+/0,+/0,\dots )}$
• Wniosek dla ekstremów: kryterium nie pozwala rozstrzygnąć, jaki kształt ma wykres funkcji

(d) ujemnie półokreślona ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ wszystkie minory główne (nie tylko wiodące) stopnia nieparzystego są ${\displaystyle \leqslant 0}$, a parzystego ${\displaystyle \geqslant 0}$, tj.

• sekwencja znaków ${\displaystyle (-/0,+/0,-/0,+/0,\dots )}$
• Wniosek dla ekstremów: kryterium nie pozwala rozstrzygnąć, jaki kształt ma wykres funkcji

(e) nieokreślona ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ wszystkie poprzednie warunki nie są spełnione

• np. gdy wśród minorów głównych (w tym wiodących) pojawi się ujemny minor stopnia parzystego lub sekwencja znaków ${\displaystyle +-}$ minorów kolejnych stopni, z których pierwszy ma stopień nieparzysty (np. 1 i 2), itd.
• Wniosek dla ekstremów: punkt siodłowy.

Uwagi:

1. Liczba minorów głównych dla nawet niedużych wartości ${\displaystyle n}$ jest znaczna (por. tabela wyżej). Wtedy szybsze może okazać się stosowanie innych metod, np. liczenie wartości własnych macierzy. Jednak jeśli macierz jest nieokreślona, to zazwyczaj można łatwo wykluczyć inne typy określoności macierzy poprzez zbadanie znaków minorów, które nie pasują do skądinąd ścisłych sekwencji znaków minorów podanych w punktach (a)-(d).

2. W przypadku półokreśloności macierzy badanie ekstremów wymaga sprawdzania pochodnych wyższego rzędu.

3. Macierz zerowa jest jednocześnie półokreślona dodatnio jak i ujemnie.

Poniżej pokazano kod programu, który liczy minory główne i minory główne wiodące macierzy kwadratowej. Na jego podstawie można dokonać klasyfikacji określoności macierzy wg kryterium Sylvestera.

W linii 34 można wpisać własną macierz. Poszczególne linie macierzy stanowią jej wiersze. Program można testować online korzystając np. z darmowego kompilatora języka Python https://www.programiz.com/python-programming/online-compiler/ lub Google Colaboratory https://colab.research.google.com/notebooks/relnotes.ipynb.

import numpy as np
from itertools import combinations

def minory_glowne(A):
    """
    Funkcja zwraca wszystkie minory główne macierzy A.
    Minor główny: wybieramy te same indeksy wierszy i kolumn.
    """
    n = A.shape[0]
    minory = {}
    for k in range(1, n+1):
        for idx in combinations(range(n), k):
            submatrix = A[np.ix_(idx, idx)]
            det = round(np.linalg.det(submatrix), 5)  # zaokrąglamy dla czytelności
            # Dodajemy 1 do każdego indeksu, aby indeksowanie zaczynało się od 1
            minory[(k, tuple(i + 1 for i in idx))] = det
    return minory

def minory_glowne_wiodace(A):
    """
    Funkcja zwraca minory główne wiodące macierzy A.
    Minor główny wiodący: lewy górny narożnik macierzy o wymiarach k x k.
    """
    n = A.shape[0]
    minory_wiodace = {}
    for k in range(1, n+1):
        submatrix = A[:k, :k]
        det = round(np.linalg.det(submatrix), 5)
        # Dodajemy 1 do każdego indeksu, aby indeksowanie zaczynało się od 1
        minory_wiodace[k] = det
    return minory_wiodace

# ------------------ PRZYKŁAD ------------------
A = np.array([
    [2, -1, 0, 3],
    [1,  3, 4, 4],
    [0,  2, 5, 5],
    [3,  4, 5, 5],
])

print("Macierz A:")
print(A)

print("\nMinory główne:")
for key, val in minory_glowne(A).items():
    print(f"Stopień {key[0]}, indeksy {key[1]} → {val}")

print("\nMinory główne wiodące:")
for k, val in minory_glowne_wiodace(A).items():
    print(f"Stopień {k} → {val}")

Z definicji minorów wynika, że

Tw. 1:

• minorami stopnia ${\displaystyle 1}$ danej macierzy są jej elementy; macierz ${\displaystyle m\times n}$ ma ich ${\displaystyle m\cdot n}$,
• minorem głównym wiodącym stopnia ${\displaystyle 1}$ jest element o indeksie ${\displaystyle 1,1}$,
• minorami głównymi stopnia ${\displaystyle 1}$ są elementy głównej przekątnej macierzy; macierz ${\displaystyle m\times n}$ ma ich ${\displaystyle \min(m,n)}$.

Tw. 2 Macierz ${\displaystyle m\times n}$ rzędu ${\displaystyle r>0}$ ma co najmniej jeden niezerowy minor stopnia ${\displaystyle r,}$ zaś każdy minor stopnia wyższego ${\displaystyle =0}$.

Tw. 3 W macierzy ${\displaystyle m\times n}$ można wybrać ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}{\tbinom {m}{k}}}$ minorów stopnia ${\displaystyle k}$, gdzie ${\displaystyle {\tbinom {\cdot }{\cdot }}}$ oznacza symbol Newtona.

Tw. 4 Macierz ${\displaystyle m\times n}$ ma ${\displaystyle \min(m,n)}$ minorów głównych wiodących.

Zobacz hasło minor w Wikisłowniku

• dopełnienie algebraiczne
• rozwinięcie Laplace’a
• macierz Hessego

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
• Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press 1985, ISBN = 978-0-521-38632-6.

• Michał Góra, Formy kwadratowe - omówienie pełnego kryterium Sylvestera (w tym kryteria na macierze dodatnio i ujemnie określone oraz półokreślone dodatnio i ujemnie) wraz z przykładami obliczeń.