![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Pythagoras_tree_1.gif/232px-Pythagoras_tree_1.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/Pythagoras_tree_1_2_12_jet.svg/220px-Pythagoras_tree_1_2_12_jet.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Pythagoras.svg/220px-Pythagoras.svg.png)
Drzewo pitagorejskie (także drzewo Pitagorasa) – fraktal zbudowany z kwadratów na płaszczyźnie, swym kształtem przypominający drzewo[1][2][3][4][5][6][7]. Nazwany został od imienia greckiego matematyka i myśliciela Pitagorasa, gdyż na każdym etapie konstrukcji wymaga rysowania dwóch kwadratów opartych na odpowiednich bokach trójkąta prostokątnego, których własności stanowią ilustrację twierdzenia Pitagorasa[2][3][5][6]. Rozważane są drzewa symetryczne, w konstrukcji których występują trójkąty prostokątne równoramienne, i drzewa ogólne, w konstrukcji których występują trójkąty prostokątne z kątami ostrymi ustalonymi, ale innymi niż 45°.
Pierwszy rysunek fraktala został sporządzony (ręcznie) w roku 1942 przez holenderskiego inżyniera i nauczyciela matematyki Alberta E. Bosmana (1891–1961). Bosman opisał fraktal i jego własności w roku 1957 w swoim dziele Het wondere onderzoekingsveld der vlakke meetkunde[2].
Odpowiednio użyty, może służyć do przedstawiania informacji w postaci struktury danych drzewa[4]. Jest też bardzo łatwy w wykonaniu[2].
Podczas Festiwalu Symetrii w Delfcie w Holandii w 2013 roku (The 2013 Symmetry Festival), pokazano drzewo pitagorejskie zbudowane z drewnianych prostopadłościanów, które ułożone były przy pomocy trójkątów prostokątnych równoramiennych[2].
- Konstrukcja fraktala zaczyna się od narysowania dowolnego kwadratu.
- Dorysowujemy do niego trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna jest górną krawędzią tego kwadratu.
- Na przyprostokątnych trójkąta budujemy kolejne kwadraty.
- Powtarzamy powyższe operacje 2 i 3.
Poniżej przedstawione zostały kolejne iteracje. Możliwa jest też zmiana długości przyprostokątnych tak, że wyższe „gałęzie” zmienią kierunek, w którym powstają.
Kolejne etapy konstrukcji fraktala
[edytuj | edytuj kod]Właściwości i wygląd
[edytuj | edytuj kod]Drzewo Pitagorejskie można narysować tylko w przybliżeniu, gdyż pełny fraktal składa się z nieskończonej liczby coraz mniejszych trójkątów i kwadratów[2].
Pole powierzchni
[edytuj | edytuj kod]Uwaga: Ta sekcja dotyczy konstrukcji wykorzystującej trójkąt prostokątny równoramienny.
Zakładając, że początkowy kwadrat jest jednostkowy, -ta iteracja w konstrukcji „dodaje” kwadratów o długości boku każdy[2][5][6]. Niektóre kwadraty mogą na siebie nachodzić[5]. Jeśli początkowy kwadrat ma wymiary to całe drzewo zmieści się w prostokącie o wymiarach [2][5][8].
Dowód[9]
[edytuj | edytuj kod]Wysokość prostokąta, w którym zmieści się fraktal
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/PythagorasTreeB.png)
Niech początkowy kwadrat będzie jednostkowy, a kolejne trójkąty prostokątne równoramienne. Dodajmy teraz do siebie długości boków kwadratów oraz długości przekątnych kwadratów, jak na ilustracji powyżej. W rezultacie tej operacji otrzymamy sumę dwóch szeregów szeregów geometrycznych. Zatem wysokość drzewa Pitagorasa wynosi:
Szerokość prostokąta, w którym zmieści się fraktal
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/51/PythagorasTreeA.png)
Niech początkowy kwadrat ma długość boku a kolejne trójkąty niech będą prostokątne i równoramienne. Weźmy pod uwagę jedynie kwadraty umieszczone najniżej na pierwszej „gałęzi” fraktala odchodzącej w prawo lub w lewo.
Korzystając z symetrii, chcemy obliczyć tylko szerokość kwadratów przechodzących w prawo. Nie uwzględniamy początkowego kwadratu. Sumujemy odpowiednie długości przekątnych kwadratów i długości boków kwadratów. Zatem szerokość połowy fraktala wyrażamy wzorem:
Zatem szerokość całego fraktala jest równa
Drzewo pitagorejskie a notacja binarna[2]
[edytuj | edytuj kod]Specjalną właściwością fraktala jest możliwość znajdywania konkretnych kwadratów po przypisaniu im liczb określoną metodą.
Oznaczmy początkowy kwadrat numerem 1. Dla dowolnej liczby naturalnej nad kwadratem o numerze skonstruowanym dwóm kwadratom przypiszemy numery i
Jeżeli kwadraty zostaną oznakowane w powyższy sposób, możemy użyć dwójkowego systemu liczbowego, by znaleźć konkretny kwadrat.
Zapiszmy liczby w systemie dziesiętnym systemem dwójkowym. Niech 1 odpowiada skrętowi w prawo (do prawego kwadratu), a zero w lewo (do lewego sąsiadującego kwadratu).
Przykład:
- 45 = 1011012, z czego wynika, że by dostać się do kwadratu oznaczonego numerem 45, musimy skręcić w prawo, w lewo, dwa razy w prawo, w lewo i w prawo.
Pokrewieństwo z innymi fraktalami
[edytuj | edytuj kod]Jeśli początkowy trójkąt fraktala będzie prostokątny i równoramienny, to po kilkunastu iteracjach „korona” drzewa będzie krzywą Lévy’ego[2][5].
Wybierając kwadraty o indeksach (zdefiniowanych tak jak w sekcji powyżej) stanowiących potęgi liczby dwa uzyskamy spiralę logarytmiczną; działa to jednak także z dowolnie wybranym kwadratem, pod warunkiem, że kolejne będą zawsze kwadratami po jego prawej lub lewej stronie[2][10]. Liczba możliwych do utworzenia w ten sposób spiral jest więc nieskończona[2][10].
Wykorzystanie
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Pythagoras_Tree_Colored.png/220px-Pythagoras_Tree_Colored.png)
Fraktal wykorzystywany jest jako prosta wizualizacja działania twierdzenia Pitagorasa[7]. Jest prosty do stworzenia np. na lekcji matematyki[2]. Wykorzystuje się go także do produkcji anten fraktalnych[8] oraz do wizualizacji informacji w postaci struktury danych drzewa[4].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b Eric W. Weisstein , Pythagoras tree, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- ↑ a b c d e f g h i j k l m n o Pythagorean Tree [online], ecademy.agnesscott.edu [dostęp 2017-06-08] .
- ↑ a b c Pythagoras tree - Rosetta Code [online], rosettacode.org [dostęp 2017-06-07] (ang.).
- ↑ a b c d F. Beck, M. Burch, T. Munz, L. Di Silvestro, D. Weiskopf Generalized Pythagoras Trees: A Fractal Approach to Hierarchy Visualization, [w:] Battiato S., Coquillart S., Pettré J., Laramee R., Kerren A., Braz J. (eds) Computer Vision, Imaging and Computer Graphics – Theory and Applications. Communications in Computer and Information Science, vol 550. Springer, Cham, 2015.
- ↑ a b c d e f g PYTHAGORAS TREE [online], melxised.tripod.com [dostęp 2017-06-12] .
- ↑ a b c d Fraktale... spod ołówka [online], zobaczycmatematyke.pl [dostęp 2017-06-16] [zarchiwizowane z adresu 2018-02-07] (pol.).
- ↑ a b A.J., Rae, Huw Crilly, Earnshaw, Huw: Fractals and Chaos. Springer Science & Business Media, 2012, s. 18–19. ISBN 1-4612-3034-9.
- ↑ a b J.C.J. Pourahmadazar, Ghobadi, Nourinia: Novel Modified Pythagorean Tree Fractal Monopole Antennas for UWB Applications. Nowy Jork: IEEE, 2011.
- ↑ Pythagorean Tree Size [online], ecademy.agnesscott.edu [dostęp 2017-07-18] .
- ↑ a b Pythagorean Tree Spirals [online], ecademy.agnesscott.edu [dostęp 2017-07-08] .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Het wondere onderzoekingsveld der vlakke meetkunde
- Eric W. Weisstein , Pythagoras Tree, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).