Otoczenie – wieloznaczne pojęcie matematyczne, różnie definiowane w analizie i topologii. W każdym wypadku jest to pewien typ zbioru zawierającego dany punkt lub ustalony zbiór. Czasem wymaga się, by otoczenie było zbiorem otwartym[1].
Blisko powiązanym pojęciem jest sąsiedztwo punktu – otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego[2]. Jeśli jest otoczeniem punktu to jego sąsiedztwem nazywa się różnicę zbiorów[2][3]:
Za pomocą otoczeń i sąsiedztw definiuje się inne pojęcia matematyczne, np. część przedmiotów analizy jak ekstremum funkcji[4] i granice funkcji w punkcie[5][3].
Otoczenia i sąsiedztwa liczb rzeczywistych
[edytuj | edytuj kod]Na prostej rzeczywistej otoczenie punktu definiuje się jako pewien typ przedziału otwartego; dokładne znaczenie zależy od kontekstu:
- otoczenie w sensie wąskim (sensu stricto) to każdy przedział otwarty złożony ze wszystkich liczb odległych od o mniej niż ustalona wartość, zwana promieniem otoczenia[2]:
- otoczenie w sensie szerokim (sensu largo) to dowolny przedział otwarty zawierający punkt [1][3]; punkt ten nie musi być pośrodku tego przedziału, a przedział nie musi być ograniczony – może nim być cała oś rzeczywista[2]:
Oprócz tego dla każdego punktu definiuje się[2][6]:
- sąsiedztwo, czyli różnicę odpowiedniego przedziału i tego punktu, tj. sumę mnogościową przedziałów:
- sąsiedztwo lewostronne, czyli przedział otwarty, którego prawym końcem (kresem górnym) jest ten punkt:
- sąsiedztwo prawostronne, czyli przedział otwarty, którego lewym końcem (kresem dolnym) jest ten punkt:
Za pomocą sąsiedztw jednostronnych definiuje się granice jednostronne funkcji w punkcie[6].
Otoczenia w przestrzeniach metrycznych
[edytuj | edytuj kod]W przestrzeni metrycznej z metryką otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.
Otoczenia punktu
[edytuj | edytuj kod]jest otoczeniem punktu jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie i promieniu tj.
która jest zawarta w zbiorze
Przykłady otoczeń otwartych
[edytuj | edytuj kod]- Na płaszczyźnie euklidesowej otoczeniem otwartym punktu jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
- W przestrzeni euklidesowej otoczeniem otwartym punktu jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.
Otoczenia jednostajne zbioru
[edytuj | edytuj kod]Otoczeniem jednostajnym zbioru w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór o tej własności, że istnieje taka liczba że dla każdego kula otwarta o środku w punkcie i promieniu tj.
jest zawarta w zbiorze
Innymi słowy, zbiór jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru
Otoczenia w przestrzeniach topologicznych
[edytuj | edytuj kod]Otoczenia punktu
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie elementem przestrzeni topologicznej Zbiór jest otoczeniem punktu gdy istnieje zbiór otwarty dla którego
Innymi słowy, zbiór jest otoczeniem punktu jeśli gdzie oznacza wnętrze zbioru [7].
Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.
Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt[1][8]. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.
Otoczenia zbioru
[edytuj | edytuj kod]Niech jest podzbiorem Otoczeniem zbioru jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru
Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.
System otoczeń a topologia
[edytuj | edytuj kod]Jeżeli dla każdego punktu zbioru dana jest pewna rodzina podzbiorów zbioru spełniająca warunki:
- dla każdego mamy, że
- dla dowolnego istnieje takie że dla wszelkich
to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewien zbiór z rodziny
Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki
[edytuj | edytuj kod]Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.
Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę złożoną ze zbioru oraz rodziny
zbiorów których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu ) zbioru spełniające następujące aksjomaty:
- Każde otoczenie zawiera oraz zbiór jest otoczeniem każdego swojego punktu.
- Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie jest także otoczeniem
- Przecięcie dowolnej pary otoczeń jest także otoczeniem
- W każdym otoczeniu zawarte jest takie otoczenie które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu[9].
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c otoczenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-04] .
- ↑ a b c d e Mariusz Doliński, Co to jest otoczenie punktu na prostej?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-31].
- ↑ a b c Katarzyna Czyżewska, Definicja granicy funkcji w punkcie i w nieskończoności, serwis „Open AGH”, Akademia Górniczo-Hutnicza, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 29 czerwca 2022 [dostęp 2024-01-31].
- ↑ ekstremum funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-01-31] .
- ↑ Mariusz Doliński, Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-31].
- ↑ a b Katarzyna Czyżewska, Granice jednostronne i WKW istnienia granicy funkcji, serwis „Open AGH”, Akademia Górniczo-Hutnicza, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 19 czerwca 2017 [dostęp 2024-02-01].
- ↑ Kuratowski 1962 ↓, s. 109.
- ↑ Kołodziej 2009 ↓, s. 73.
- ↑ Jänich 1991 ↓, s. 14–15.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991.
- W. Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1962.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Neighborhood, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-01].
- Eric W. Weisstein , Open Neighborhood, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-01].
- Neighbourhood (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-01].