Rozkład hipergeometryczny
Parametry
|
|
Nośnik
|
|
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
|
|
Wartość oczekiwana (średnia)
|
|
Moda
|
|
Wariancja
|
|
Współczynnik skośności
|
|
Kurtoza
|
|
Funkcja tworząca momenty
|
|
Funkcja charakterystyczna
|
|
Rozkład hipergeometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa związany z tzw. schematem urnowym.
Zmienna losowa o tym rozkładzie określa prawdopodobieństwo uzyskania
sukcesów (
-krotnego wylosowania obiektu mającego określoną cechę) w
-elementowej próbie, czyli
pojedynczych próbkowaniach bez zwracania z populacji o skończonej wielkości
, w której znajduje się dokładnie
obiektów mających tę cechę. W każdym pojedynczym próbkowaniu może nastąpić albo sukces, albo porażka[1].
Niekiedy spotyka się inny sposób sformułowania, np. zamiast
(wielkości całej populacji) parametrem jest
(liczba obiektów niemających określonej cechy w populacji)[2].
Funkcja masy prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]
Zmienna losowa
ma rozkład hipergeometryczny, gdy funkcja masy prawdopodobieństwa (pmf) jest dana wzorem[3]
![{\displaystyle p_{X}(k)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {{\binom {m}{k}}{\binom {N-m}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773e560b8b8f2d2a56509eb851d9912e0bd28506)
gdzie
to wielkość populacji,
to liczba sukcesów (obiektów, które mają określoną cechę) w tej populacji,
to liczba pojedynczych losowań (wielkość pobieranej próbki),
to liczba sukcesów zaobserwowanych w próbce,
to symbol Newtona.
Wzór ten stosuje się dla k, takich że
. Poza tym przedziałem prawdopodobieństwa
wynoszą zero.
W grze Lotto uczestnik kupuje zakład, w ramach którego typuje, które z 49 liczb zostaną wylosowane w losowaniu odbywającym się w określonym terminie. W pojedynczym losowaniu losuje się 6 liczb. W pojedynczym zakładzie uczestnik typuje również 6 liczb. Zmienna
określająca, ile z wytypowanych w tym zakładzie liczb zostanie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami
,
,
. Prawdopodobieństwo prawidłowego wytypowania wszystkich sześciu liczb (trafienia szóstki) wynosi więc:
![{\displaystyle p_{X}(6)=\mathbb {P} (X=6)={\frac {{\binom {6}{6}}{\binom {49-6}{6-6}}}{\binom {49}{6}}}={\frac {1}{13983816}}\approx 0{,}0000000715,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f73ace2db11dbd023b9ccd47afc5bbcecd8737d1)
zaś prawdopodobieństwo uzyskania trójki (prawidłowego wytypowania dokładnie trzech liczb) wynosi:
![{\displaystyle p_{X}(3)=\mathbb {P} (X=3)={\frac {{\binom {6}{3}}{\binom {49-3}{6-3}}}{\binom {49}{6}}}={\frac {246820}{13983816}}\approx 0{,}0177.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9873fa87f269678c00a36f0a4849448fa13cbc0)
Jeżeli uczestnik gra systemem i typuje 8 liczb (co jest równoważne z zakupem odpowiedniej liczby powiązanych zakładów), zmienna
określająca, ile z wytypowanych liczb będzie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami
,
,
. W takiej sytuacji prawdopodobieństwo uzyskania szóstki wynosi:
![{\displaystyle p_{Y}(k)=\mathbb {P} (Y=k)={\frac {{\binom {8}{6}}{\binom {49-8}{6-6}}}{\binom {49}{6}}}\approx 0{,}0000020023}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e248de4233e90fe47400e29d6155272be78e5055)
- ↑ JacekJ. Jakubowski JacekJ., RafałR. Sztencel RafałR., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wyd. 2 popr., rozsz., (dodr.), Warszawa: "Script", 2001, s. 16, ISBN 978-83-904564-5-4 .
- ↑ R: The Hypergeometric distribution [online], search.r-project.org [dostęp 2024-06-19] .
- ↑ John A. Rice: Mathematical Statistics and Data Analysis. Wyd. Third. Duxbury Press, 2007, s. 42.
Rozkłady statystyczne
Rozkłady ciągłe |
|
---|
Rozkłady dyskretne |
|
---|