Suma prosta przestrzeni liniowych – przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ powstała poprzez pewnego rodzaju sumowanie przestrzeni liniowych ${\displaystyle (V_{i})_{i\in I}{:}}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}$

To jakiego rodzaju jest to sumowanie zależy od kontekstu. W przypadku gdy ${\displaystyle I=\{1,2,\dots ,n\}}$ piszemy również

${\displaystyle V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{n}.}$

Przykładowo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ może być uważane za sumę prostą

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \oplus \ldots \oplus \mathbb {R} }$

n kopii ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Suma prosta to z jednej strony narzędzie analizowania przestrzeni liniowych, a z drugiej strony – bardzo wygodny sposób konstruowania nowych przestrzeni liniowych.

 Zobacz też: Moduł wolny generowany przez zbiór.

Niech ${\displaystyle I}$ będzie dowolnym zbiorem. Załóżmy, że mamy daną rodzinę przestrzeni liniowych ${\displaystyle (V_{i})_{i\in I}}$ nad tym samym ciałem ${\displaystyle K.}$ Rozpatrzmy funkcje postaci

${\displaystyle f:I\to \bigcup _{i\in I}V_{i}}$

takie, że ${\displaystyle f(i)\in V_{i}.}$ Nośnikiem ${\displaystyle f}$ nazwiemy zbiór

${\displaystyle \mathrm {supp} f:=\{i\in I;\ f(i)\neq 0\}.}$

Zbiór funkcji tej postaci o skończonym nośniku nazywamy (zewnętrzną) sumą prostą przestrzeni liniowych ${\displaystyle V_{i},\ i\in I}$ i oznaczamy

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}\quad \mathrm {lub} \quad \bigsqcup _{i\in I}V_{i}.}$

(1) Elementy zbioru ${\displaystyle I}$ interpretujemy jako indeksy.

(2) Gdy ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ to elementami ${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}$ są nieskończone ciągi postaci

${\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3},\dots ),}$

gdzie ${\displaystyle v_{i}\in V_{i},}$ które mają jednakowoż skończoną liczbę niezerowych wyrazów.

(3) Gdy ${\displaystyle I=\{1,2,\dots ,n\}}$ to elementami ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ są skończone ciągi postaci

${\displaystyle (v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}).}$

Piszemy wówczas także

${\displaystyle V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{n}=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}$

(4) (Zewnętrzna) suma prosta to bardzo wygodny sposób konstruowania nowych przestrzeni liniowych (patrz: Struktura przestrzeni liniowej).

W (zewnętrznej) sumie prostej ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ możemy wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo

${\displaystyle (f+g)(i):=f(i)+g(i)}$

${\displaystyle (\alpha f)(i):=\alpha f(i)}$

dla ${\displaystyle f,g\in \bigoplus _{i\in I}V_{i},\ \alpha \in K.}$

Gdy elementy ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ są ciągami (skończonymi lub nie) to sprowadza się to do dodawania wyrazów ciągów:

${\displaystyle (v_{1},v_{2},\dots )+(w_{1},w_{2},\dots )=(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},\dots )}$

i do mnożenia ich przez skalar:

${\displaystyle \alpha (v_{1},v_{2},\dots )=(\alpha v_{1},\alpha v_{2},\dots ).}$

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową. Jeżeli ${\displaystyle V_{1},V_{2},\dots ,V_{k}}$ są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni ${\displaystyle V}$ takimi, że każdy wektor ${\displaystyle v\in V}$ można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy

${\displaystyle v=v_{1}+v_{2}+\ldots +v_{k}}$

gdzie ${\displaystyle v_{i}\in V_{i}}$ to mówimy, że ${\displaystyle V}$ jest (wewnętrzną) sumą prostą podprzestrzeni liniowych ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{k}}$ i piszemy

${\displaystyle V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}}$^[1].

(1) Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni ${\displaystyle V_{i},}$ to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni.

(2) Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste.

Załóżmy, że przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ jest przedstawiona w postaci wewnętrznej sumy prostej

${\displaystyle V=V_{1}\oplus _{i}\ldots \oplus _{i}V_{n}.}$

Utwórzmy zewnętrzną sumę prostą podprzestrzeni ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}{:}}$

${\displaystyle V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}.}$

${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}}$ są izomorficzne. Oznacza to, że zewnętrzna i wewnętrzna suma prosta są w istocie tym samym i pozwala mówić po prostu o sumie prostej.

Dowód. Zdefiniujmy homomorfizm ${\displaystyle \varphi :V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}\to V.}$ Homomorfizm przestrzeni liniowych ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle W}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ to funkcja ${\displaystyle \phi :U\to W}$ taka, że

${\displaystyle \phi (\alpha u_{1}+\beta u_{2})=\alpha \phi (u_{1})+\beta \phi (u_{2})}$

dla dowolnych ${\displaystyle u_{1},u_{2}\in U,\ \alpha ,\beta \in K.}$ Zdefiniujmy ${\displaystyle \varphi }$ wzorem

${\displaystyle \varphi (v_{1},\dots ,v_{n}):=v_{1}+\ldots +v_{n}.}$

Mamy

${\displaystyle \varphi (\alpha x+\beta y)=\alpha \varphi (x)+\beta \varphi (y)}$

dla dowolnych ${\displaystyle x,y\in V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n},\ \alpha ,\beta \in K,}$ a zatem ${\displaystyle \varphi }$ jest homomorfizmem.

Zdefiniujmy funkcję ${\displaystyle \psi :V\to V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}}$ wzorem

${\displaystyle \psi (v)=\psi (v_{1}+\ldots +v_{n}):=(v_{1},\dots ,v_{n}),}$

gdzie ${\displaystyle v_{1}+\ldots +v_{n}}$ to z definicji wewnętrznej sumy prostej jedyne takie przedstawienie wektora ${\displaystyle v,}$ że ${\displaystyle v_{i}\in V_{i}.}$ Dla ${\displaystyle u=u_{1}+\ldots +u_{n}}$ i ${\displaystyle v=v_{1}+\ldots +v_{n}}$ utwórzmy sumę ${\displaystyle \alpha u+\beta v.}$ Z definicji wewnętrznej sumy prostej istnieje tylko jedno przedstawienie

${\displaystyle \alpha u+\beta v=w_{1}+\ldots +w_{n}}$

takie, że ${\displaystyle w_{i}\in V_{i}.}$

${\displaystyle \alpha u+\beta v=(\alpha u_{1}+\beta v_{1})+\ldots +(\alpha u_{n}+\beta v_{n})}$

jest takim przedstawieniem, a zatem jest jedyne. Wynika z tego, że

${\displaystyle \psi (\alpha u+\beta v)=\psi ((\alpha u_{1}+\beta v_{1})+\ldots +(\alpha u_{n}+\beta v_{n}))=(\alpha u_{1}+\beta v_{1},\dots ,\alpha u_{n}+\beta v_{n})=\alpha \psi (u)+\beta \psi (v).}$

A zatem ${\displaystyle \psi :V\to V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}}$ jest homomorfizmem.

Złożenia ${\displaystyle \varphi }$ i ${\displaystyle \psi }$ są funkcjami identycznościowymi:

${\displaystyle (\varphi \circ \psi )(v)=v,\quad (\psi \circ \varphi )(u)=u}$

dla ${\displaystyle v\in V}$ i ${\displaystyle u\in V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}.}$ Oznacza to z definicji funkcji odwrotnej, że ${\displaystyle \varphi }$ i ${\displaystyle \psi }$ są funkcjami wzajemnie odwrotnymi

${\displaystyle \psi =\varphi ^{-1},}$

a zatem ${\displaystyle \varphi }$ jest izomorfizmem ${\displaystyle V=V_{1}\oplus _{i}\ldots \oplus _{i}V_{n}}$ i ${\displaystyle V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}.\blacksquare }$

Jeżeli ${\displaystyle V_{1}}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle V}$ to zawsze istnieje taka podprzestrzeń ${\displaystyle V_{2},}$ że

${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}.}$

W algebrze liniowej, podprzestrzenie ${\displaystyle V_{1}}$ i ${\displaystyle V_{2}}$ nazywane są podprzestrzeniami (wzajemnie) komplementarnymi.

Niech ${\displaystyle V}$ oznacza przestrzeń liniową wszystkich funkcji rzeczywistych określonych w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech ${\displaystyle V_{n},V_{p}}$ będą zdefiniowane jako:

• ${\displaystyle V_{n}}$ – przestrzeń liniowa funkcji nieparzystych,
• ${\displaystyle V_{p}}$ – przestrzeń liniowa funkcji parzystych.

Dowolną funkcje ${\displaystyle f}$ można przedstawić jako sumę ${\displaystyle f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}},}$

gdzie pierwszy składnik jest funkcją parzystą, drugi zaś nieparzystą. Rozkład ten jest jednoznaczny.

Dowód (niewprost)

Załóżmy, że daną funkcje daje się rozłożyć na dwa sposoby na sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Czyli mamy:

${\displaystyle f=p_{1}+n_{1}=p_{2}+n_{2}}$

lub równoważnie

${\displaystyle n_{1}-n_{2}=p_{2}-p_{1}.}$

Prawa strona jest funkcją parzystą (różnica parzystych jest parzysta) zaś lewa – nieparzystą. Jedyną funkcją która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stale równa zero. Oznacza to że

${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$ oraz ${\displaystyle n_{1}=n_{2},}$

co prowadzi nas do sprzeczności z przyjętym założeniem, cdn.

Ponieważ każdą funkcję można jednoznacznie przedstawić za pomocą sumy funkcji parzystej i nieparzystej, to oznacza że przestrzeń funkcji można przedstawić jako sumę prostą funkcji parzystych i nieparzystych:

${\displaystyle V=V_{p}\oplus V_{n}.}$

W przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ macierzy ${\displaystyle n\times n}$ każdą macierz można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, tzn.

${\displaystyle A=A^{sym}+A^{antysym},}$

gdzie:

${\displaystyle A^{T}}$ – macierz transponowana macierzy ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle A^{sym}={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)}$ – macierz symetryczna,

${\displaystyle A^{antysym}={\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)}$ – macierz antysymetryczna.

Macierze symetryczne tworzą podprzestrzeń ${\displaystyle V^{sym}}$ przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ macierzy, gdyż:

a) suma macierzy symetrycznych jest macierzą symetryczną,

b) iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar daje macierz symetryczną.

Podobnie, macierze antysymetryczne tworzą podprzestrzeń ${\displaystyle V^{antysym}}$ przestrzeni ${\displaystyle V.}$

Ponieważ każdą macierz przestrzeni ${\displaystyle V}$ da się jednoznacznie rozłożyć na macierz symetryczną i antysymetryczną, to całą przestrzeń można przedstawić jako sumę prostą

${\displaystyle V=V^{sym}\oplus V^{antysym}.}$

Np. dla macierzy

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&4\\0&4&6\\0&0&8\end{bmatrix}}}$

macierz transponowana, symetryczna i antysymetryczna mają postacie

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&4&0\\4&6&8\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle A^{sym}={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&4&3\\2&3&8\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle A^{antysym}={\begin{bmatrix}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{bmatrix}}.}$

Przestrzeń liniowa utworzona z tensorów II rzędu (tzw. przestrzeń tensorowa) może być przedstawiona jako suma prosta przestrzeni tensorowej tensorów symetrycznych i przestrzeni tensorowej tensorów antysymetrycznych. Np. w reprezentacji macierzowej dowolny tensor II rzędu jest reprezentowany przez macierz ${\displaystyle n\times n,}$ gdzie ${\displaystyle n}$ – wymiar przestrzeni liniowej, na której określono pole tensorowe. Macierz tę można zawsze przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

Niech ${\displaystyle V}$ oznacza przestrzeń wektorową ${\displaystyle 3}$-wymiarową (ogólnie: ${\displaystyle n}$-wymiarową). W przestrzeni tej można wprowadzić podział na sumy proste następująco:

• wybiera się bazę przestrzeni ${\displaystyle V}$ (możliwych baz jest nieskończenie wiele),
• zbiór wektorów ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ bazy dzieli się na rozłączne podzbiory; np. dla zbioru ${\displaystyle 3}$-elementowego mamy możliwe podziały bazy:

  ${\displaystyle P_{1}=\{\{e_{1}\},\{e_{2},e_{3}\}\},}$

  ${\displaystyle P_{2}=\{\{e_{2}\},\{e_{3},e_{1}\}\},}$

  ${\displaystyle P_{3}=\{\{e_{3}\},\{e_{1},e_{2}\}\},}$

  ${\displaystyle P_{4}=\{\{e_{1}\},\{e_{2}\},\{e_{2}\}\}.}$

Każdy z podziałów bazy na podzbiory wyznacza jeden z możliwych sposobów podziału przestrzeni ${\displaystyle V}$ na sumę prostą podprzestrzeni – bazami tych podprzestrzeni są poszczególne podzbiory bazy w danym podziale. W podanym przykładzie mielibyśmy 4 możliwe podziały na sumy proste, których bazami byłyby podane wyżej podzbiory bazy ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}{:}}$

${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{23},}$

${\displaystyle V=V_{2}\oplus V_{31},}$

${\displaystyle V=V_{3}\oplus V_{12},}$

${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus V_{3}.}$

Dla przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej – przy dużej wartości ${\displaystyle n}$ – możliwych podziałów byłoby bardzo dużo.

 Osobny artykuł: Podprzestrzeń komplementarna.

W analizie funkcjonalnej, suma prosta podprzestrzeni ${\displaystyle V_{1}}$ i ${\displaystyle V_{2}}$ danej przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle X}$ oznacza sumę prostą

${\displaystyle X=V_{1}\oplus V_{2}.}$

przy założeniu, że ${\displaystyle V_{1}}$ i ${\displaystyle V_{2}}$ są domknięte (czasami dla odróżnienia, mówi się o topologicznej sumie prostej). Jeśli ${\displaystyle V_{1}}$ jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle X}$ (np. przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$), to na ogół, nie istnieje komplementarna do niej podprzestrzeń ${\displaystyle V_{2}}$ (tutaj definicję komplementarności zawęża się o wymaganie domkniętości obu podprzestrzeni). W przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Hilberta, to twierdzenie o rzucie ortogonalnym gwarantuje, że dla każdej jej domkniętej podprzestrzeni ${\displaystyle V_{1}}$ jej dopełnienie ortogonalne ${\displaystyle V_{1}^{\perp }}$ stanowi rozkład na (topologiczną) sumę prostą, tzn.

${\displaystyle X=V_{1}\oplus V_{1}^{\perp }.}$

Własność ta (tzn. własność istnienia podprzestrzeni komplementarnej do każdej domkniętej podprzestrzeni) charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha.

Dla pary odwzorowań między przestrzeniami liniowymi ${\displaystyle V_{i}}$ i ${\displaystyle W_{i},}$ ${\displaystyle i=1,2}$

${\displaystyle \varphi _{1}\colon V_{1}\to W_{1},}$

${\displaystyle \varphi _{2}\colon V_{2}\to W_{2},}$

definiuje się ich sumę prostą

${\displaystyle \varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\colon V_{1}\oplus V_{2}\to W_{1}\oplus W_{2}}$

wzorem

${\displaystyle (\varphi _{1}\oplus \varphi _{2})(v_{1},v_{2})=(\varphi _{1}(v_{1}),\varphi _{2}(v_{2})).}$

Analogicznie definiuje się sumę prostą dowolnej liczby odwzorowań: Jeżeli ${\displaystyle V_{i},W_{i}}$ są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz

${\displaystyle \varphi _{i}\colon V_{i}\to W_{i},\,i\in I,}$

to wzór

${\displaystyle \left(\bigoplus _{i\in I}\varphi _{i}\right)((x_{i})_{i\in I})=(\varphi (x_{i}))_{i\in I},\,(x_{i})_{i\in I}\in \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$

definiuje przekształcenie

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}\varphi _{i}\colon \bigoplus _{i\in I}V_{i}\to \bigoplus _{i\in I}W_{i}}$

nazywane sumą prostą rodziny odwzorowań ${\displaystyle (\varphi _{i})_{i\in I}.}$

Jeżeli ${\displaystyle \{X_{i}\colon i\in I\}}$ jest rodziną przestrzeń Banacha, to w (algebraicznej) sumie prostej

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}.}$

nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni ${\displaystyle X_{i},}$ a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór ${\displaystyle I}$ jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego. Na algebraicznej sumie prostej można zadać wiele nierównoważnych norm – prowadzi to powstania wielu różnych sposobów określania sumy prostej.

Jeżeli ${\displaystyle \{(X_{n},\|\cdot \|_{n})\colon n\in \mathbb {N} \}}$ jest (przeliczalną) rodziną przestrzeni Banacha, to podprzestrzeń

${\displaystyle X\subseteq \prod _{n\in \mathbb {N} }X_{n}}$

tych ciągów ${\displaystyle (x_{n})_{n},}$ dla których

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|_{n}=0}$

jest przestrzenią Banacha z normą

${\displaystyle \|(x_{n})_{n}\|=\sup\{\|x_{n}\|_{n}\colon n\in \mathbb {N} \}.}$

Podprzestrzeń ${\displaystyle X}$ nazywana jest czasem ${\displaystyle c_{0}}$ sumą rozważanej wyżej rodziny przestrzeni Banacha i oznaczana jest symbolem

${\displaystyle X=\left({\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }}X_{n}\right)_{c_{0}}.}$

Analogicznie definiuje się sumy typu ${\displaystyle c_{0}(I),}$ gdzie ${\displaystyle I}$ jest dowolnym, nieprzeliczalnym zbiorem indeksów.

Jeżeli ${\displaystyle \{(X_{i},\|\cdot \|_{i})\colon i\in I\}}$ jest rodziną przestrzeni Banacha oraz ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,}$ to podprzestrzeń

${\displaystyle X\subseteq \prod _{i\in I}X_{i}}$

złożona z tych elementów ${\displaystyle (x_{i})_{i}}$ dla których co najwyżej przeliczalnie wiele wyrazów ${\displaystyle x_{i}}$ jest niezerowych oraz szereg

${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|_{i}^{p},}$

jest zbieżny, jest przestrzenią Banacha z normą

${\displaystyle \|(x_{i})_{i}\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}\|x_{i}\|_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Przestrzeń ${\displaystyle X}$ nazywana jest ${\displaystyle \ell ^{p}}$-sumą rodziny ${\displaystyle \{X_{i}\colon i\in I\}}$ i oznaczana symbolem

${\displaystyle X=\left({\bigoplus _{i\in I}}X_{i}\right)_{\ell ^{p}}.}$

Jeżeli ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ są dowolnymi liczbami z przedziału ${\displaystyle [1,\infty ),}$ to normy w ${\displaystyle \ell ^{p}}$ – i ${\displaystyle \ell ^{q}}$-sumie skończenie wielu przestrzeni Banacha są równoważne.

W przypadku, gdy wszystkie przestrzenie ${\displaystyle X_{i}}$ są przestrzeniami Hilberta, to ich ${\displaystyle \ell ^{2}}$-suma jest również przestrzenią Hilberta. W teorii przestrzeni Hilberta, przestrzeń ta nazywana jest po prostu suma prostą przestrzeni Hilberta (dolny indeks ${\displaystyle \ell ^{2}}$ w oznaczeniu najczęściej pomija się). Iloczyn skalarny elementów ${\displaystyle (x_{i})_{i}}$ i ${\displaystyle (y_{i})_{i}}$ w sumie prostej spełnia warunek

${\displaystyle \langle (x_{i})_{i},(y_{i})_{i}\rangle =\sum _{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle _{i}.}$

Pojęcie ${\displaystyle \ell ^{p}}$-sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od Banacha^[2]. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał Day^[3], natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez Kakutaniego^[4].

Jeżeli ${\displaystyle (T_{i})_{i\in I}}$ jest rodziną operatorów jednakowo ograniczonych między przestrzeniami Banacha, odpowiednio, ${\displaystyle X_{i}}$ i ${\displaystyle Y_{i},}$ tj.

${\displaystyle \sup _{i\in I}\|T_{i}\|<\infty ,}$

to dla ustalonego ${\displaystyle p\geqslant 1}$ definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych ${\displaystyle \ell ^{p}}$-sumę rodziny ${\displaystyle (T_{i})_{i\in I},}$ tj. operator

${\displaystyle \left(\bigoplus _{i\in I}T_{i}\right)_{\ell ^{p}}\colon \left(\bigoplus _{i\in I}X_{i}\right)_{\ell ^{p}}\to \left(\bigoplus _{i\in I}Y_{i}\right)_{\ell ^{p}},}$

zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem ${\displaystyle \ell ^{p}}$-sumy. W szczególności, ${\displaystyle \ell ^{p}}$-suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz

${\displaystyle \left\|\left(\bigoplus _{i\in I}T_{i}\right)_{\ell ^{p}}\right\|=\sup\{\|T_{i}\|\colon i\in I\}.}$

Jeżeli ${\displaystyle X_{i},Y_{i}}$ są przestrzeniami Hilberta, to ${\displaystyle \ell ^{2}}$-sumę operatorów ${\displaystyle T_{i}}$ nazywa się sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta.

• iloczyny grup
• iloczyn prosty
• moduł wolny generowany przez zbiór

• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. PWN, 1970. Brak numerów stron w książce
• Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2 Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7. Brak numerów stron w książce
• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce
• Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 126–127. ISBN 0-8176-4367-2.
• A.P. Robertson, W.J. Robertson: Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53: Cambridge University Press, 1964, s. 89–90.

• [https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lundholm/clifford.pdf Clifford algebra, geometric algebra,

and applications]