Twierdzenie Riemanna – twierdzenie autorstwa Bernharda Riemanna mówiące o tym, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny.

Niech

${\displaystyle (a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots )}$

będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych, że szereg ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ jest warunkowo zbieżny. Ponadto niech ${\displaystyle M}$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas istnieje taka permutacja ${\displaystyle \sigma }$ zbioru liczb naturalnych, że

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.}$

Istnieje również taka permutacja ${\displaystyle \sigma ,}$ że

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\pm \infty .}$

Wyrazy szeregu można również ustawić w takiej kolejności, że szereg nie ma żadnej granicy (ani skończonej, ani nieskończonej).

Niech ${\displaystyle (m_{n}),(m'_{n})}$ będą ciągami liczb rzeczywistych zbieżnymi do ${\displaystyle M}$ odpowiednio z dołu i z góry, tzn. ${\displaystyle m_{n}<M}$ i ${\displaystyle m'_{n}>M}$ (można przyjąć ${\displaystyle m_{n}=M-1/n}$ oraz ${\displaystyle m'_{n}=M+1/n}$). Oznaczmy ponadto

${\displaystyle p_{n}={\tfrac {|a_{n}|+a_{n}}{2}},\ q_{n}={\tfrac {|a_{n}|-a_{n}}{2}}.}$

Zauważmy, że ciąg ${\displaystyle (p_{n})}$ powstaje z ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ przez zastąpienie wyrazów ${\displaystyle <0}$ zerami. Analogicznie, ciąg ${\displaystyle (q_{n})}$ powstaje z ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ przez zastąpienie wyrazów ${\displaystyle <0}$ ich wartościami bezwzględnymi, a wyrazów ${\displaystyle >0}$ zerami. Oczywiście wszystkie wyraz ${\displaystyle p_{n},q_{n}}$ są nieujemne, a szeregi ${\displaystyle \sum p_{n},\sum q_{n}}$ są rozbieżne. Rzeczywiście, gdyby oba powyższe szeregi były zbieżne, to zbieżny byłby szereg ${\displaystyle \sum |a_{n}|=\sum (p_{n}+q_{n}),}$ co przeczy założeniu. Podobnie, gdyby tylko jeden z powyższych szeregów był zbieżny, to rozbieżny byłby szereg ${\displaystyle \sum a_{n},}$ gdyż ${\displaystyle a_{n}=p_{n}-q_{n}.}$

Oznaczmy teraz nieujemne wyrazy ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ przez ${\displaystyle (P_{n}),}$ a wartości bezwzględne wyrazów ujemnych przez ${\displaystyle (Q_{n})}$ (w kolejności takiej w jakiej występują w ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$). Wtedy szeregi ${\displaystyle \sum P_{n}}$ oraz ${\displaystyle \sum Q_{n}}$ są równe szeregom ${\displaystyle \sum p_{n}}$ oraz ${\displaystyle \sum q_{n}}$ z dokładnością do wyrazów równych ${\displaystyle 0,}$ a zatem są oba rozbieżne.

Wybierzmy teraz możliwie najmniejsze liczby naturalne ${\displaystyle i_{1}}$ oraz ${\displaystyle j_{1}}$ w taki sposób, aby

${\displaystyle P_{1}+P_{2}+\ldots +P_{i_{1}}>m_{1}}$ i ${\displaystyle P_{1}+P_{2}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-Q_{2}-\ldots -Q_{j_{1}}<m'_{1}.}$

Takie liczby istnieją na mocy rozbieżności szeregów ${\displaystyle \sum P_{n},\sum Q_{n}.}$ Następnie dla danych liczb ${\displaystyle i_{n},j_{n}}$ określamy indukcyjnie możliwie najmniejsze liczby ${\displaystyle i_{n+1}>i_{n},j_{n+1}>j_{n},}$ tak aby

${\displaystyle P_{1}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-\ldots -Q_{j_{1}}+\ldots +P_{i_{n}+1}+\ldots +P_{i_{n+1}}>m_{n+1}}$

oraz

${\displaystyle P_{1}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-\ldots -Q_{j_{1}}+\ldots +P_{i_{n}+1}+\ldots +P_{i_{n+1}}-Q_{j_{n}+1}-\ldots -Q_{j_{n+1}}<m'_{n+1}.}$

Otrzymujemy w ten sposób szereg

(*) ${\displaystyle P_{1}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-\ldots -Q_{j_{1}}+\ldots +P_{i_{n-1}}+\ldots +P_{i_{n}}-Q_{j_{n-1}}-\ldots -Q_{j_{n}}+\dots ,}$

który jest szeregiem powstałym z ${\displaystyle \sum a_{n}}$ przez pewną permutację wyrazów. Pokażemy, że spełnia on tezę twierdzenia. Oznaczmy mianowicie sumy częściowe szeregu (*), kończące się na wyrazie ${\displaystyle P_{i_{n}}}$ przez ${\displaystyle \tau _{n}.}$ Zauważmy ponadto, że ${\displaystyle P_{n}\to 0,}$ gdy ${\displaystyle n\to \infty }$ na mocy zbieżności szeregu ${\displaystyle \sum a_{n}.}$ Ponieważ ${\displaystyle |\tau _{n}-m_{n}|\leqslant P_{n},}$ to ${\displaystyle \tau _{n}\to M,}$ tzn. M jest punktem skupienia ciągu sum częściowych szeregu (*), a tym samym jest sumą tego szeregu, gdyż jego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy’ego ${\displaystyle (m_{n}-m'_{n}\to 0,}$ gdy ${\displaystyle n\to \infty ).}$ To kończy dowód.

Przypadek ${\displaystyle \pm \infty }$ jest całkowicie analogiczny.

Szereg

${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }~{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},}$

nazwany szeregiem Leibniza jest zbieżny warunkowo do ${\displaystyle \ln 2}$ na mocy kryterium Leibniza (nie jest bezwzględnie, gdyż szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym). Zarówno szereg składników dodatnich

${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+\dots ,}$

jak i szereg składników ujemnych

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{8}}+\dots }$

są rozbieżne do ${\displaystyle +\infty .}$

Oznaczmy sumę jego wyrazów przez ${\displaystyle S.}$ Wyrazy tego ciągu możemy pogrupować parami:

${\displaystyle S=(1-{\tfrac {1}{2}})+({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}})+({\tfrac {1}{5}}-{\tfrac {1}{6}})+\dots ,}$

a następnie pomnożyć wszystkie przez ${\displaystyle {\frac {1}{2}},}$ otrzymując

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}S={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{10}}+\dots }$

Dodając do siebie oba powyższe szeregi mamy

${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}S=1+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}-{\tfrac {2}{8}}+\dots }$

Ostatecznie, powyższy szereg składa się z tych samych wyrazów co szereg pierwotny, ale jego suma jest o połowę większa. Jest to możliwe, ponieważ rozważany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.

• twierdzenie Lévy’ego-Steinitza

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Riemann Series Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• L.D. Kudryavtsev, Riemann’s theorem on the rearrangement of terms of a series (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-12-20].