Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników^[1]. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots +{\frac {1}{2^{k}}}+\ldots }$

Wyrazy szeregu często powstają w wyniku zastosowania pewnej reguły, takiej jak np. wzór, czy algorytm. W przeciwieństwie do sumowania, do pełnego zrozumienia i manipulowania nimi szeregi wymagają narzędzi analizy matematycznej. Poza ich wszechobecnością w samej matematyce szeregi szeroko stosuje się w innych dyscyplinach ilościowych takich jak fizyka, czy informatyka; szczególnie ważne są rozmaite szeregi funkcyjne, w tym trygonometryczne, na czele z szeregiem Fouriera, czy potęgowe (za pomocą których można przybliżać z dowolną dokładnością wiele funkcji).

Szeregi mogą składać się z elementów z dowolnego zbioru, w tym z liczb rzeczywistych, liczb zespolonych czy funkcji (wtedy mówi się o szeregach funkcyjnych). Poniższa definicja podana będzie dla liczb rzeczywistych, lecz można ją uogólniać.

Dla danego nieskończonego ciągu liczb rzeczywistych ${\displaystyle (a_{n})}$ definiuje się ${\displaystyle N}$-tą sumę częściową ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ bądź sumę częściową szeregu wzorem

${\displaystyle s_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{N}.}$

Szeregiem nazywa się ciąg ${\displaystyle (s_{N})}$ sum częściowych. Formalnie szereg należy więc traktować jako parę uporządkowaną ${\displaystyle {\big (}(a_{n}),(s_{N}){\big )}}$^[2].

Sumą szeregu nazywa się liczbę ${\displaystyle S=\lim _{N\to \infty }s_{N},}$ o ile granica ta istnieje i jest właściwa. W przeciwnym przypadku szereg nie ma sumy. Szereg, który ma sumę nazywa się zbieżnym, który jej nie ma – rozbieżnym^[3].

Zarówno szereg, jak i jego sumę oznacza się na jeden z następujących sposobów:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots }$

To, które z tych pojęć jest odpowiednie wynika zwykle z kontekstu. Oddzielenie tych dwóch całkowicie różnych obiektów (ciągu i jego granicy) osiąga się niekiedy przez pominięcie granic (oznaczeń nad i pod symbolem sumy), np.

${\displaystyle \sum _{n}a_{n};}$

symbol ten służy wtedy odnoszeniu się do szeregu formalnego, który może, lecz nie musi mieć określonej sumy.

Szeregiem, w zależności od autora, a czasem także od kontekstu, bywa też nazywana suma wszystkich elementów danego ciągu nieskończonego^[4].

Niżej stosowany będzie również symbol ${\displaystyle \sum a_{n}}$ na oznaczenie obu rodzajów obiektów, o ile nie będzie prowadzić to do nieporozumień.

 Osobny artykuł: kryteria zbieżności szeregów.

O szeregu ${\displaystyle \sum a_{n}}$ mówi się, że jest zbieżny, jeżeli ciąg ${\displaystyle (s_{N})}$ sum częściowych ma skończoną granicę, wtedy

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }s_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}.}$

Jeżeli granica ${\displaystyle (s_{N})}$ jest nieskończona lub nie istnieje, to szereg nazywa się rozbieżnym.

Szereg ${\displaystyle \sum a_{n}}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ${\displaystyle (s_{N})}$ sum częściowych spełnia warunek Cauchy’ego. Zmiana (również opuszczenie, czy dodanie) skończenie wielu wyrazów szeregu zbieżnego nie wpływa na jego zbieżność.

Należy zaznaczyć, że suma szeregu nie jest tym samym, co suma jego składników. Niektóre szeregi można jednak traktować jako sumę, tzn. zmieniać kolejność składników (wyrazów w ciągu). Szereg ${\displaystyle \sum a_{n}}$ nazywa się

• zbieżnym bezwzględnie/absolutnie, jeśli

  ${\displaystyle \sum |a_{n}|<\infty ;}$

• zbieżnym względnie/nieabsolutnie, jeśli jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, tzn.

  ${\displaystyle \sum a_{n}<\infty ,}$ lecz ${\displaystyle \sum |a_{n}|=\infty .}$

Twierdzenie Riemanna wyróżnia dodatkowe dwa rodzaje zbieżności szeregów, mianowicie szereg ${\displaystyle \sum a_{n}}$ jest

• zbieżny bezwarunkowo, jeżeli dla każdej permutacji ${\displaystyle \sigma }$ zachodzi

  ${\displaystyle \sum a_{\sigma (n)}=\sum a_{n};}$

• zbieżny warunkowo, jeżeli dla każdej liczby ${\displaystyle s\in {\overline {\mathbb {R} }}}$ istnieje permutacja ${\displaystyle \sigma }$ taka, że

  ${\displaystyle \sum a_{\sigma (n)}=s.}$

Oznacza to, że wyrazy szeregów zbieżnych bezwarunkowo można dowolnie przestawiać, nie zmieniając przy tym sumy szeregu, z kolei przestawiając wyrazy szeregu zbieżnego warunkowo, można otrzymać jako sumę nowego szeregu dowolną, z góry zadaną liczbę lub otrzymać szereg rozbieżny – z tego powodu operacje na nich należy wykonywać ze szczególną uwagą.

Wspomniane twierdzenie gwarantuje, że szereg ${\displaystyle \sum a_{n}}$ jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są szeregi ${\displaystyle \sum a_{n}^{+}}$ złożony z jego wyrazów dodatnich i ${\displaystyle \sum a_{n}^{-}}$ złożony z jego wyrazów ujemnych; wówczas jego suma wynosi ${\displaystyle \sum a_{n}^{+}+\sum a_{n}^{-}.}$ Jeżeli jeden z tych ciągów jest rozbieżny, to szereg jest rozbieżny, lecz jeśli rozbieżne są oba, to szereg może być albo zbieżny warunkowo albo rozbieżny.

Każdy z powyższych rodzajów zbieżności pociąga zbieżność w zwykłym sensie. Dla szeregów liczbowych pojęcia zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej pokrywają się, lecz w ogólności (w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha, gdzie wartość bezwzględną zastępuje się normą) tylko zbieżność absolutna pociąga zbieżność bezwarunkową szeregu.

Ponieważ szereg jest definiowany jako ciąg, to wszelkie działania na ciągach takie jak ich dodawanie, czy mnożenie przez skalar można stosować dla szeregów; szeregi tworzą więc przestrzeń liniową nad ciałem, z którego pochodzą jego wyrazy. Suma szeregów zbieżnych jest szeregiem zbieżnym. Mnożenie szeregu przez niezerowy skalar nie wpływa na jego zbieżność.

Można również określić mnożenie dwóch szeregów, jednym ze sposobów jest przedstawiony niżej iloczyn Cauchy’ego. Iloczynem szeregów ${\displaystyle \sum a_{n}}$ oraz ${\displaystyle \sum b_{n}}$ nazywa się szereg ${\displaystyle \sum c_{n},}$ gdzie

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\ldots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}.}$

Twierdzenie Mertensa

Jeżeli szeregi ${\displaystyle \sum a_{n}}$ oraz ${\displaystyle \sum b_{n}}$ są zbieżne i co najmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to zbieżny jest ich iloczyn (Cauchy’ego), którego suma wynosi ${\displaystyle \left(\sum a_{n}\right)\left(\sum b_{n}\right).}$

Pewnym uogólnieniem powyższego twierdzenia jest

Twierdzenie Abela

Jeżeli iloczyn (Cauchy’ego) zbieżnych szeregów ${\displaystyle \sum a_{n}}$ oraz ${\displaystyle \sum b_{n}}$ jest zbieżny, to ma on sumę równą ${\displaystyle \left(\sum a_{n}\right)\left(\sum b_{n}\right).}$

Uwaga: Jeśli oba szeregi są zbieżne bezwzględnie, to suma dowolnego szeregu ${\displaystyle \sum c_{n},}$ który za wyrazy ma wszystkie liczby postaci ${\displaystyle a_{i}b_{j}}$ (każda występuje dokładnie raz, ich kolejność jest dowolna) jest równa ${\displaystyle \left(\sum a_{n}\right)\left(\sum b_{n}\right).}$

Dowód: Ograniczoność szeregu ${\displaystyle \sum |c_{n}|,}$ a co za tym idzie bezwzględna zbieżność szeregu ${\displaystyle \sum c_{n}}$ wynika z nierówności:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}|c_{k}|\leqslant (\sum _{i=0}^{p}|a_{i}|)(\sum _{j=0}^{r}|b_{j}|)\leqslant (\sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|)(\sum _{j=0}^{\infty }|b_{j}|)}$

gdzie ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle r}$ to maksymalne indeksy przy ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ w pierwszych ${\displaystyle n}$ wyrazach ciągu ${\displaystyle c_{n}}$ i założenia o bezwzględnej zbieżności szeregów (${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|<\infty ,}$${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }|b_{j}|<\infty }$). Zatem można przestawiać kolejność wyrazów, w szczególności do postaci iloczynu Cauchy’ego.

Niech dany będzie szereg ${\displaystyle \sum x^{n};}$ jego iloczyn przez siebie wynosi ${\displaystyle (n+1)x^{n}.}$ Ponieważ szereg geometryczny ${\displaystyle \sum x^{n}}$ jest zbieżny dla ${\displaystyle |x|<1}$ i ma sumę ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-x}},}$ to z twierdzenia Mertensa otrzymuje się, iż ${\displaystyle \left(\sum x^{n}\right)^{2}=\sum (n+1)x^{n}=\left({\tfrac {1}{1-x}}\right)^{2}.}$

Ważnymi rodzajami szeregów są:

• szereg geometryczny, złożony z wyrazów ciągu geometrycznego; jest on zbieżny, jeśli moduł ilorazu ciągu jest mniejszy od ${\displaystyle 1;}$
• szereg harmoniczny, ${\displaystyle \sum {\tfrac {1}{n}},}$ który jest rozbieżny
• szereg harmoniczny rzędu ${\displaystyle \alpha ,}$ czyli ${\displaystyle \sum {\tfrac {1}{n^{\alpha }}},}$ zbieżny dla ${\displaystyle \alpha >1;}$
• szereg naprzemienny
• szereg teleskopowy

Definicja szeregu nie musi ograniczać się do szeregów liczbowych, gdyż ciąg ${\displaystyle (a_{n})}$ nie musi być ciągiem liczb rzeczywistych, czy zespolonych. Do poprawnego określenia szeregu potrzebujemy przestrzeni, w której określone jest działanie dodawania (by określić ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$) oraz topologia (by określić wartość granicy ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}),}$ czyli granicę szeregu ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$). Dlatego też definicja ta bez zmian przenosi się na przykład na przestrzenie liniowo-topologiczne.

• iterowane działanie dwuargumentowe
• transformata ciągu

• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2010, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 3. ISBN 978-83-01-15479-0.
• Ewa Łobos, Beata Sikora: Advanced calculus. Selected topics. Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2009. ISBN 978-83-7335-625-2.
• Krzysztof Maurin: Analiza cz 1. Elementy. Warszawa: PWN, 1991, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 69. ISBN 83-01-09940-2.

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Sumy nieskończone, „Delta”, lipiec 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
• MichałM. Krych MichałM., Suma nieskończona – co to jest?, „Delta”, luty 2012, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
• Absolutely convergent series (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].