Zasada zachowania momentu pędu – jedna z zasad zachowania w mechanice .
Treść zasady:
Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała.
W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco:
Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.
co można zapisać wzorem
const
L
→
{\displaystyle \operatorname {const} {\vec {L}}}
lub
d
L
→
d
t
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=0,}
przy czym wzór ten można traktować jako szczególny przypadek równania wyrażającego zależność momentu pędu od momentu siły
M
{\displaystyle M}
d
L
→
d
t
=
M
→
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}.}
Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu
L
→
=
I
ω
→
{\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}
(przykład definicji momentu pędu dla ustalonej osi) wynika, że prędkość kątowa
ω
{\displaystyle \omega }
rośnie, gdy maleje moment bezwładności
I
.
{\displaystyle I.}
Jedną z konsekwencji zasady zachowania momentu pędu są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych , dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe ) uzyskiwane na skutek kolapsu grawitacyjnego i zmniejszenia momentu bezwładności.
Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.
Moment pędu układu
N
{\displaystyle N}
cząstek można zapisać
L
→
=
∑
i
=
1
N
r
i
→
×
(
m
i
r
i
→
˙
)
.
{\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}}).}
Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie, otrzymujemy
d
L
→
d
t
=
∑
i
=
1
N
r
i
→
˙
×
(
m
i
r
i
→
˙
)
+
∑
i
=
1
N
r
i
→
×
(
m
i
r
i
→
¨
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\vec {r_{i}}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}})+\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}).}
Ponieważ iloczyn wektorowy
r
i
→
˙
×
r
i
→
˙
=
0
{\displaystyle {\dot {\vec {r_{i}}}}\times {\dot {\vec {r_{i}}}}=0}
oraz
m
i
r
i
→
¨
=
F
i
→
,
{\displaystyle m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}={\vec {F_{i}}},}
to pozostaje tylko obliczyć iloczyn
r
i
→
×
F
i
→
.
{\displaystyle {\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}.}
W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony
F
→
i
j
{\displaystyle {\vec {F}}_{ij}}
) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu
∑
i
=
1
N
r
i
→
×
F
i
→
=
∑
i
=
1
N
(
r
i
→
×
(
∑
i
≠
j
N
F
i
j
→
+
F
i
→
′
)
)
=
∑
i
=
1
N
r
→
i
×
F
→
i
′
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}({\vec {r_{i}}}\times (\sum _{i\neq j}^{N}{\vec {F_{ij}}}+{\vec {F_{i}}}'))=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}'.}
Ponieważ
F
i
j
→
=
−
F
j
i
→
,
{\displaystyle {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {F_{ji}}},}
to
r
i
→
×
F
i
j
→
=
−
r
j
→
×
F
j
i
→
,
{\displaystyle {\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {r_{j}}}\times {\vec {F_{ji}}},}
a dla każdej siły
F
i
j
→
{\displaystyle {\vec {F_{ij}}}}
występuje siła
F
j
i
→
.
{\displaystyle {\vec {F_{ji}}}.}
Stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.
Zatem
d
L
→
d
t
=
∑
i
=
1
N
r
i
→
×
F
i
→
′
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}'.}
Jeżeli układ jest odosobniony, to
F
→
i
′
=
0
,
{\displaystyle {\vec {F}}_{i}'=0,}
czyli
const
L
→
.
{\displaystyle \operatorname {const} {\vec {L}}.}
podstawowe zasady zachowania konsekwencje i szczególne postacie
powiązane tematy
uczeni według daty narodzin