Splot Dirichleta

Splot Dirichleta – dla funkcji arytmetycznych f i g jest to funkcja określona wzorem

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d),}$

gdzie suma rozciąga się po wszystkich dodatnich dzielnikach d liczby n^[1][2].

(1) Zbiór funkcji arytmetycznych ze zwykłym dodawaniem i splotem Dirichleta jako mnożeniem tworzy pierścień przemienny z jednością^[2] określoną jako

${\displaystyle \varepsilon (n)={\begin{cases}1,&{\text{gdy}}\ n=1\\0,&{\text{gdy}}\ n\neq 1.\end{cases}}}$

(2) Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę ze splotem Dirichleta jako działaniem grupowym. Oznacza to, że:

• splot Dirichleta funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną;
• splot Dirichleta jest działaniem łącznym;
• dla każdej funkcji multiplikatywnej f istnieje taka funkcja multiplikatywna g, że f * g = ε, gdzie ε oznacza element neutralny^[3].

• WładysławW. Narkiewicz WładysławW., Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-07] .
• AdamA. Neugebauer AdamA., Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 1, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-07] .
• AndrzejA. Nowicki AndrzejA., Funkcje arytmetyczne, Wydawnictwo Naukowe OWSIiZ, 2012, ISBN 978-83-88629-71-6, OCLC 840295292 [dostęp 2022-07-07] .

• JerzyJ. Rutkowski JerzyJ., O funkcjach arytmetycznych i splocie Dirichleta, „Delta”, marzec 1989, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-08-11] .
• Dirichlet convolution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].