Przestrzeń ilorazowa – przestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.
Niech
będzie przestrzenią liniową nad ciałem
zaś
podprzestrzenią
Zdefiniujmy na
relację równoważności
taką, że
czyli
jest w relacji z
wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z
Klasa równoważności
tzn. zbiór
![{\displaystyle [x]:=\{y\in V;\ y\sim x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a33a6d18f83f05dbff0ebb5efb0271b313271c1)
jest często oznaczana przez
![{\displaystyle [x]=x+N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509e30c6669817e80213b9ad139f3eb0d1a0a27d)
ponieważ jest równa
![{\displaystyle [x]=\{x+n\mid n\in N\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314ff2223393775e1e17b191f6b69764fd5ccc2f)
Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni
wyznaczonymi przez wektor
Przestrzeń ilorazowa
jest wówczas zdefiniowana jako
czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad
Iloczyn skalara przez wektor oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane jako
dla każdego 
![{\displaystyle [x]+[y]:=[x+y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf294cda56d685f4feb879e384bcf998c94f8ece)
Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają
w przestrzeń liniową nad
Rozpatrzmy przestrzeń wektorową
Niech
i niech
oznacza podprzestrzeń rozpinaną przez pierwsze
wektorów bazy kanonicznej
Do
należą ciągi z
które są równe 0 na
ostatnich współrzędnych. Zdefiniujmy relację równoważności
jako

Wynika z tego, że dwa wektory z
są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich
współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa
jest izomorficzna z
w oczywisty sposób.
Jeżeli
daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni
i

to przestrzeń ilorazowa
jest naturalnie izomorficzna z
Jeżeli
jest podprzestrzenią
to kowymiar przestrzeni
w
jest zdefiniowany jako wymiar
Jeżeli
jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów
oraz

Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z
na przestrzeń ilorazową
dany jako przesłanie elementu
na jego klasę równoważności
Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń
Niech
będzie przekształceniem liniowym. Jądrem
oznaczanym przez
jest zbiór wszystkich
takich, że
Jądro jest podprzestrzenią
Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniowej mówi, że przestrzeń ilorazowa
jest izomorficzna z obrazem
w
Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar
jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.
Kojądro operatora liniowych
jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa
zaś
Jeżeli
będzie dane tak, aby
zaś
będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe
że
Ponadto jeśli:
jest epimorfizmem, to
również jest epimorfizmem,
to
jest monomorfizmem.
Jeżeli
jest przestrzenią Banacha, a
domkniętą podprzestrzenią
to iloraz
również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na
wzorem
![{\displaystyle \|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c6d091dd75833455e31aefdf7610d7e42702d7)
Przestrzeń ilorazowa
jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.
Niech
oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale
zaś
oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji
takich, że
Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji
jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa
jest izomorficzna z
Jeżeli
jest przestrzenią Hilberta, to przestrzeń ilorazowa
jest izomorficzna z dopełnieniem ortogonalnym
Wektory i działania na nich |
|
---|
Układy wektorów i ich macierze |
|
---|
Wyznaczniki i miara układu wektorów |
|
---|
Przestrzenie liniowe |
|
---|
Iloczyny skalarne |
|
---|
Pojęcia zaawansowane |
|
---|
Pozostałe pojęcia |
|
---|
Powiązane dyscypliny |
|
---|
uczeni według daty narodzin | |
---|