Średnią arytmetyczno-geometryczną dwóch liczb rzeczywistych dodatnich ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b,}$ oznaczaną często w nomenklaturze anglojęzycznej przez ${\displaystyle AGM(a,b)}$ lub ${\displaystyle M(a,b),}$ nazywamy wspólną granicę następujących ciągów określonych rekurencyjnie^[1]:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},}$

${\displaystyle b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},}$

gdzie ${\displaystyle a_{0}=a}$ oraz ${\displaystyle b_{0}=b,}$ przy czym średnią tę można rozszerzyć dla liczb zespolonych. Granica ta istnieje dla dowolnych ${\displaystyle a,b}$ rzeczywistych dodatnich, ponieważ ${\displaystyle b_{n}\leqslant b_{n+1}\leqslant a_{n+1}\leqslant a_{n},}$ co wynika z nierówności Cauchy’ego między średnimi, i równocześnie kolejne różnice pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów ${\displaystyle (a_{n})}$ i ${\displaystyle (b_{n})}$ dążą do zera:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=0.}$

Z samej konstrukcji mamy:

${\displaystyle {\sqrt {ab}}\leqslant M(a,b)\leqslant {\frac {a+b}{2}}.}$

Aby wyznaczyć średnią arytmetyczno-geometryczną liczb ${\displaystyle a_{0}=24}$ i ${\displaystyle b_{0}=6,}$ najpierw wyliczamy wartości średnich:

${\displaystyle a_{1}={\tfrac {24+6}{2}}=15,}$

${\displaystyle b_{1}={\sqrt {24\cdot 6}}=12}$

i dalej rekurencyjnie:

${\displaystyle a_{2}={\tfrac {15+12}{2}}=13{,}5,}$

${\displaystyle b_{2}={\sqrt {15\cdot 12}}=13{,}4164078649\dots }$

${\displaystyle \dots .}$

Po pięciu początkowych iteracjach otrzymujemy:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle a_{n}}$	${\displaystyle b_{n}}$
0	24	6
1	15	12
2	13,5	13,416407864998738178455042…
3	13,458203932499369089227521…	13,458139030990984877207090…
4	13,458171481745176983217305…	13,458171481706053858316334…
5	13,458171481725615420766820…	13,458171481725615420766806…

Jak widzimy na przykładzie, ciąg zgodnych cyfr po przecinku (zaznaczonych podkreśleniem) wydłuża się mniej więcej dwukrotnie z każdym powtórzeniem. Średnia arytmetyczno-geometryczna liczb 24 i 6 jest wspólną granicą podanych dwóch ciągów, równą w przybliżeniu 13,4581714817256154207668131569743992430538388544^[2].

Badania nad nią zapoczątkowane zostały jeszcze przez Gaussa, który w początkowym okresie swojej twórczości naukowej poświęcił jej dużo miejsca. W jego dzienniku z 30 maja 1799 roku czytamy nawet, że badania nad nią „stworzyły nowe pola rozwoju analizy”. Wkrótce odkrył on zaskakującą równość:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\alpha }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha }}}={\frac {\pi }{2M(a,b)}},}$

z której wynika, że długość ćwiartki lemniskaty Bernoulliego wyraża się zależnością:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {2}})}}.}$

Wielkość ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$ nazywa się stałą Gaussa i wynosi w przybliżeniu ${\displaystyle 1{,}198\,140\,234\,735\,592\,207\,439\,9\ldots }$

Czasami stałą Gaussa nazywa się odwrotność powyższej liczby.

Średnia arytmetyczno-geometryczna ma wiele ciekawych własności m.in.:

${\displaystyle M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b),{\mbox{dla }}\lambda \geqslant 0,}$

${\displaystyle M(a,b)=M({\tfrac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}),}$

czyli w szczególności dla ${\displaystyle 0<x<1}$

${\displaystyle M(1-x,1+x)=M(1,{\sqrt {1-x^{2}}}).}$

Obecnie średnią arytmetyczno-geometryczną Gaussa wykorzystuje się w przeróżnych algorytmach służących do obliczania liczby π, z których najważniejszym wydaje się być odnaleziony w 1976 przez E. Salamina i R. Brenta:

${\displaystyle \pi ={\frac {4[M(1,2^{-{\frac {1}{2}}})]^{2}}{1-\sum \limits _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle c_{n}={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-b_{n})}$

oraz ${\displaystyle a_{0}=1}$ i ${\displaystyle b_{0}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}},}$ zaś ${\displaystyle a_{n}}$ i ${\displaystyle b_{n}}$ dla ${\displaystyle n>0}$ otrzymujemy ze wzorów powyżej.

• L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, 2000, ISBN 0-387-98946-3.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Arithmetic-Geometric Mean, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).