Droga – ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się[1]. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech oraz niech będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie
Punktem początkowym drogi jest a końcowym Często mówi się o „drodze z do ”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.
Pętlą zaczepioną w nazywa się drogę z do Równoważnie można określić ją jako drogę taką, że lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli Ostatnia równoważność wynika z tego, że może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa z utożsamionymi punktami i
Zbiór pętli w zaczepionych w nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem
Drogowa spójność
[edytuj | edytuj kod]Przestrzeń topologiczną, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca, nazywa się drogowo spójną. Każda przestrzeń może zostać rozbita na zbiór drogowo spójnych składowych, który oznaczany jest często
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania oraz będące dwiema różnymi drogami z do na prostej rzeczywistej.
Przestrzenie z wyróżnionym punktem
[edytuj | edytuj kod]Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech będzie taką przestrzenią, drogą w nazywa się te drogi w których punktem początkowym jest Analogicznie pętlą w nazywa się pętle zaczepione w
Homotopia
[edytuj | edytuj kod]Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej, nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy ) przy zachowaniu jej punktów końcowych.
Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.
Drogi
[edytuj | edytuj kod]Homotopią dróg z do w nazywamy rodzinę dróg taką, że
- i są stałe,
- odwzorowanie dane wzorem jest ciągłe.
Pętle
[edytuj | edytuj kod]Homotopią pętli nazywamy homotopię łączącą oraz spełniającą warunek dla
Dla powyższej homotopii każda droga jest pętlą w zaczepioną w Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia nie ulegał przesunięciu.
Równoważność
[edytuj | edytuj kod]Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w i pętli w są relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często
Składanie
[edytuj | edytuj kod]Załóżmy, że jest drogą z do zaś z do Złożeniem dróg i nazywamy drogę zdefiniowaną jako uprzednie przejście po a następnie po
Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj.
Grupa podstawowa
[edytuj | edytuj kod]Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ pętla, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-12] .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005.