Nierówność Cauchy’ego-Schwarza

Nierówność Cauchy’ego-Schwarza, Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza^[1] lub Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza^[a] – ograniczenie górne na iloczyn skalarny dwóch wektorów w przestrzeni unitarnej wykorzystujące iloczyn norm tych wektorów, jedna z najczęściej stosowanych nierówności w matematyce^[2].

Nierówność dla sum została opublikowana w 1821 roku przez Augustina Louisa Cauchy’ego^[3]. Odpowiadająca jej nierówność całkowa została podana niezależnie przez Wiktora Buniakowskiego i Hermanna Schwarza^[1], odpowiednio w 1859 i w 1884 roku^[4].

Jeżeli ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ oznacza iloczyn skalarny wektorów ${\displaystyle x,y}$ danej przestrzeni unitarnej ${\displaystyle X,}$ to nierównością Schwarza nazywa się nierówność

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leqslant \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle ,}$

lub, wyrażoną równoważnie za pomocą norm, nierówność

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leqslant \|x\|\|y\|,}$

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ są liniowo zależne, tzn. gdy istnieje taki skalar ${\displaystyle \mathrm {r} ,}$ że zachodzi ${\displaystyle x=\mathrm {r} y}$ lub ${\displaystyle y=\mathrm {r} x.}$

Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się użyteczne postaci tej nierówności:

• w przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ z euklidesowym iloczynem skalarnym ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}}$ otrzymuje się nierówność

  ${\displaystyle (x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n})^{2}\leqslant \left(x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}\right),}$

co można zapisać zwięźlej w postaci

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leqslant \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right);}$

• w przestrzeni ${\displaystyle C[0,1]}$ funkcji ciągłych na odcinku ${\displaystyle [0,1]}$ z iloczynem skalarnym danym wzorem ${\displaystyle \int f(x)g(x)\operatorname {d} x}$ dostaje się

  ${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\operatorname {d} x\right|^{2}\leqslant \int |f(x)|^{2}\operatorname {d} x\int |g(x)|^{2}\operatorname {d} x;}$

• dla funkcji ${\displaystyle f,g}$ z przestrzeni L²(X) całkowalnych z kwadratem iloczyn ${\displaystyle fg}$ należy do przestrzeni L¹(X) funkcji całkowalnych z modułem oraz

  ${\displaystyle \|fg\|_{1}\leqslant \|f\|_{2}\|g\|_{2}.}$

Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L² jest równoważna nierówności Höldera dla ${\displaystyle p=q=2.}$ Nierówność dla ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości Lagrange’a.

Nierówność jest spełniona dla ${\displaystyle y=0,}$ zatem można przyjąć, że ${\displaystyle \langle y,y\rangle \neq 0.}$ Dla dowolnej liczby zespolonej ${\displaystyle \lambda }$ jest

${\displaystyle 0\leqslant \|x-\lambda y\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -{\overline {\lambda }}\langle x,y\rangle -\lambda \langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .}$

Wybierając

${\displaystyle \lambda =\langle x,y\rangle \langle y,y\rangle ^{-1},}$

otrzymuje się nierówność

${\displaystyle 0\leqslant \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\langle y,y\rangle ^{-1},}$

która zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leqslant \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle ,}$

co z uwagi na równość

${\displaystyle \langle x,x\rangle =\|x\|^{2},}$

jest tożsame

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leqslant \|x\|\|y\|.}$

• nierówność Höldera
• nierówność trójkąta
• przestrzeń Hilberta

• Piotr Stachura, Nierówność Cauchy'ego-Schwarza, kanał Khan Academy na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2024-06-22].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Schwarz’s Inequality, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cauchy’s Inequality, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].