Teoria PCF (od ang. possible cofinalities), teoria możliwych współkońcowości – dział teorii mnogości związany z arytmetyką liczb kardynalnych. Jednym z centralnych obiektów rozważanych w tej teorii jest zbiór współkońcowości pewnych zredukowanych porządków produktowych.

Stworzył ją izraelski matematyk Saharon Shelah w latach 80. XX wieku i do dziś jest ona rozwijana, głównie przez niego. Wyniki tej teorii demonstrują, że – mimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych w arytmetyce liczb kardynalnych – wciąż można dowieść wielu własności na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (ZFC), o ile zadaje się właściwe pytania. Z teorii możliwych współkońcowości można także wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych.

• W 1970 roku, rozwijając metodę forsingu, William Easton^[1] udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych, której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że ${\displaystyle \kappa <\mathrm {cf} (\mathbf {F} (\kappa ))}$ dla wszystkich regularnych ${\displaystyle \kappa .}$ Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że ${\displaystyle 2^{\kappa }=\mathbf {F} (\kappa )}$ dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych ${\displaystyle \kappa .}$
• Twierdzenie Eastona przesunęło środek ciężkości badań w arytmetyce kardynalnej w kierunku hipotezy liczb singularnych (SCH) i jej naruszeń. SCH to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa ,}$ jeśli ${\displaystyle 2^{\mathrm {cf} (\kappa )}<\kappa }$ to ${\displaystyle \kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}=\kappa ^{+}}$. Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję ${\displaystyle \kappa \mapsto 2^{\kappa }}$ dla liczb regularnych. Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne, ale też z dużych liczb można wywnioskować niesprzeczność ¬SCH.
• Z wyników Karola Prikrego^[2] i Jacka Silvera wynika, że jeśli istnieje liczba superzwarta, to istnieje pojęcie forsingu, które forsuje, że dla pewnej silnie granicznej singularnej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa }$ mamy ${\displaystyle \kappa ^{+}<2^{\kappa }.}$ Wielu matematyków zaczęło w latach 70. XX wieku sądzić, że w arytmetyce liczb kardynalnych wszystkie twierdzenia ZFC są już odkryte i wszystko, co nie jest przez te stwierdzenia zdeterminowane, jest niezależne od ZFC (być może, zakładając istnienie odpowiednio dużych liczb kardynalnych).
• W 1978 Shelah opublikował pracę, w której użył nowatorskich metod do budowy pewnych algebr mocy ${\displaystyle \aleph _{\omega +1}}$^[3]. Metody te były zwiastunem nowej teorii: teorii PCF. W kolejnych latach Shelah systematycznie prowadził badania w tym kierunku, z czasem wykazując, że ciągle jeszcze istnieją nieodkryte (i zdumiewające) twierdzenia ZFC.
• W 1994 Shelah opublikował systematyczny i kompleksowy wykład teorii PCF^[4].
• Czytelnik nieprzyzwyczajony do bardzo trudnego stylu publikacji Shelaha, a zainteresowany głębszym zrozumieniem tej teorii, może więcej skorzystać z przeglądowego artykułu Maxa Burkego i Menachema Magidora^[5] lub monografii M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza^[6]. Bardzo godnym polecenia jest też artykuł przeglądowy Uriego Abrahama i Menachema Magidora^[7].

• Przypuśćmy, że ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\sqsubseteq )}$ jest praporządkiem. Definiujemy współkońcowość ${\displaystyle \mathrm {cf} (\mathbb {P} )}$ praporządku ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jako

${\displaystyle \mathrm {cf} (\mathbb {P} )=\min\{|A|:A\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall p\in \mathbb {P} )(\exists a\in A)(p\sqsubseteq a)\}.}$

• Przypuśćmy, że ${\displaystyle S}$ jest niepustym zbiorem i dla ${\displaystyle s\in S}$ mamy daną liczbę porządkową ${\displaystyle \delta _{s}\in \mathbf {ON} .}$ Dalej przypuśćmy, że ${\displaystyle I}$ jest ideałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle S.}$ Definiujemy praporządek ${\displaystyle \leqslant _{I}}$ na ${\displaystyle \prod \limits _{s\in S}\delta _{s}}$ przez

${\displaystyle f\leqslant _{I}g}$ wtedy i tylko wtedy gdy ${\displaystyle \{s\in S:f(s)>g(s)\}\in I.}$

• Dla liczb kardynalnych ${\displaystyle \kappa \geqslant \lambda \geqslant \mu }$ określamy współczynnik pokryciowy ${\displaystyle \mathrm {cov} (\kappa ,\lambda ,\mu )}$ jako najmniejszą możliwą moc rodziny ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq [\kappa ]^{<\lambda }}$ (czyli elementy rodziny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ są podzbiorami zbioru ${\displaystyle \kappa }$ mocy mniejszej niż ${\displaystyle \lambda }$) takiej, że

${\displaystyle (\forall B\in [\kappa ]^{<\mu })(\exists A\in {\mathcal {A}})(B\subseteq A).}$

• Niech ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ będzie niepustym zbiorem regularnych liczb kardynalnych. Określamy:

• ${\displaystyle \prod {\mathfrak {a}}=\prod _{\kappa \in {\mathfrak {a}}}\kappa }$ jest zbiorem wszystkich takich funkcji ${\displaystyle f:{\mathfrak {a}}\longrightarrow \mathbf {ON} ,}$ że ${\displaystyle (\forall \kappa \in {\mathfrak {a}})(f(\kappa )<\kappa );}$
• jeśli ${\displaystyle I}$ jest ideałem na ${\displaystyle {\mathfrak {a}},}$ to ${\displaystyle \prod {\mathfrak {a}}/I}$ oznacza porządek częściowy otrzymany w kanoniczny sposób z praporządku ${\displaystyle \leqslant _{I}}$ na ${\displaystyle \prod {\mathfrak {a}};}$
• ${\displaystyle \mathrm {pcf} ({\mathfrak {a}})=\{\mathrm {cf} \left(\prod {\mathfrak {a}}/I\right):I}$ jest ideałem maksymalnym na ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\}.}$

• Niech ${\displaystyle \lambda }$ będzie singularną liczbą kardynalną. Zdefiniujmy zbiór ${\displaystyle P^{\lambda }}$ jako

${\displaystyle \{\mathrm {cf} \left(\prod {\mathfrak {a}}/I\right):{\mathfrak {a}}\subseteq \lambda }$ jest zbiorem liczb regularnych, ${\displaystyle \sup({\mathfrak {a}})=\lambda ,}$ ${\displaystyle |{\mathfrak {a}}|=\mathrm {cf} (\lambda )}$ oraz ${\displaystyle I}$ jest maksymalnym ideałem na ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ zawierającym wszystkie ograniczone podzbiory ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\}.}$

Kładziemy ${\displaystyle \mathrm {pp} (\lambda )=\sup(P^{\lambda }).}$

• Przypuśćmy, że ${\displaystyle \delta }$ jest graniczną liczbą porządkową oraz że ${\displaystyle \delta <\aleph _{\delta }}$ (czyli ${\displaystyle \delta }$ nie jest punktem stałym skali alefów). Wówczas ${\displaystyle \mathrm {cov} (\aleph _{\delta },|\delta |^{+},\mathrm {cf} (\delta )^{+})<\aleph _{(|\delta |^{\mathrm {cf} (\delta )})^{+}}}$ a stąd ${\displaystyle \aleph _{\delta }^{\mathrm {cf} (\delta )}<\aleph _{(|\delta |^{\mathrm {cf} (\delta )})^{+}}.}$

Na przykład ${\displaystyle \aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}<\aleph _{{\mathfrak {c}}^{+}}}$ (gdzie ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$).

• Jeśli ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ jest przedziałem liczb regularnych i ${\displaystyle |{\mathfrak {a}}|<\min({\mathfrak {a}}),}$ to ${\displaystyle \mathrm {pcf} ({\mathfrak {a}})}$ jest również przedziałem liczb regularnych, który zawiera element największy oraz ${\displaystyle \left|\mathrm {pcf} ({\mathfrak {a}})\right|\leqslant |{\mathfrak {a}}|^{+++}}$ i też ${\displaystyle \left|\mathrm {pcf} ({\mathfrak {a}})\right|\leqslant 2^{|{\mathfrak {a}}|}}$
  • Hipoteza PCF mówi, że nawet ${\displaystyle \left|\mathrm {pcf} ({\mathfrak {a}})\right|\leqslant {|{\mathfrak {a}}|}}$ jeśli ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ jest przedziałem liczb regularnych i ${\displaystyle \sup {\mathfrak {a}}=\delta <\aleph _{\delta }.}$
• Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest nieskończoną liczbą kardynalną, ${\displaystyle \lambda =\kappa ^{+\alpha },}$ ${\displaystyle 1\leqslant \alpha <\kappa ,}$ to ${\displaystyle \mathrm {cf} \left([\lambda ]^{\leqslant \kappa },\subseteq \right)=\max \left(\mathrm {pcf} (\{\kappa ^{+(\beta +1)}:\beta <\alpha \})\right).}$
• Z powyższych wyników możemy wywnioskować np. że:

(a) jeśli ${\displaystyle \delta <\aleph _{\delta }}$ gdzie ${\displaystyle \delta }$ jest graniczną liczbą porządkową, to ${\displaystyle \mathrm {cf} \left([\aleph _{\delta }]^{|\delta |},\subseteq \right)<\aleph _{|\delta |^{+4}},}$

(b) jeśli ${\displaystyle |\delta |^{\mathrm {cf} (\delta )}<\aleph _{\delta }}$ gdzie ${\displaystyle \delta }$ jest graniczną liczbą porządkową, to ${\displaystyle \aleph _{\delta }^{\mathrm {cf} (\delta )}<\aleph _{|\delta |^{+4}}.}$

W szczególności, jeśli ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}<\aleph _{\omega },}$ to ${\displaystyle \aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}<\aleph _{\omega _{4}}.}$
Jeśli hipoteza PCF jest prawdziwa, to nawet ${\displaystyle \aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}<\aleph _{\omega _{1}}.}$

• Jeśli ${\displaystyle \aleph _{1}\leqslant \mathrm {cf} (\kappa )<\kappa }$ oraz zbiór ${\displaystyle \{\lambda <\kappa :\,\mathrm {pp} (\lambda )=\lambda ^{+}\}}$ jest stacjonarny w ${\displaystyle \kappa ,}$ to ${\displaystyle \mathrm {pp} (\kappa )=\kappa ^{+}.}$

Powszechnie znaną (choć niekoniecznie popieraną) tezą Shelaha jest, że jeśli zinterpretujemy właściwie pierwszy problem Hilberta (używając podejścia motywowanego przez teorię PCF), to ma on odpowiedź pozytywną^[8]. Podstawą do tej tezy jest następujące twierdzenie, nazywane revised GCH.

Dla liczb kardynalnych ${\displaystyle \lambda ,\kappa }$ określamy

${\displaystyle \lambda ^{[\kappa ]}=\min\{|{\mathcal {P}}|:{\mathcal {P}}\subseteq [\lambda ]^{\leqslant \kappa }}$ oraz dla każdego zbioru ${\displaystyle A\subseteq \lambda }$ mocy ${\displaystyle \kappa }$ można znaleźć zbiór ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}}$ taki że ${\displaystyle |{\mathcal {A}}|<\kappa }$ oraz ${\displaystyle A=\bigcup {\mathcal {A}}\}.}$

• Revised GCH: Jeśli ${\displaystyle \mu }$ jest silnie graniczną liczbą nieprzeliczalną, to dla każdej liczby kardynalnej ${\displaystyle \lambda \geqslant \mu }$ można znaleźć ${\displaystyle \kappa _{0}<\mu }$ takie, że

${\displaystyle \kappa _{0}<\kappa <\mu }$ implikuje ${\displaystyle \lambda ^{[\kappa ]}=\lambda .}$