Hesjan, macierz Hessego – macierz (kwadratowa) drugich pochodnych cząstkowych obliczonych dla funkcji wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych dwukrotnie różniczkowalnej w punkcie, w którym liczone są te pochodne. Macierz Hessego charakteryzuje własności krzywizny wykresu funkcji w otoczeniu tego punktu. Dlatego m. im. jest wyznaczana w punktach krytycznych przy wyszukiwaniu ekstremów i punktów przegięcia, punktów siodłowych funkcji wielu zmiennych.

Czasem pod pojęciem hesjanu rozumie się wyznacznik macierzy Hessego, będący formą kwadratową przyrostów zmiennych^[1].

Nazwę hesjanu wprowadził James Joseph Sylvester dla upamiętnienia niemieckiego matematyka Ottona Hessego (1811–1874)^[2].

Niech ${\displaystyle D}$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem w ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni współrzędnych rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oraz ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ - funkcja dwukrotnie różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} \in D,}$ choć niekoniecznie mająca ciągłe drugie pochodne; ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$ - punkt w ${\displaystyle D}$.

Macierzą Hessego funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} }$ nazywamy macierz

${\displaystyle H(\mathbf {x} ):={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(\mathbf {x} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}(\mathbf {x} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}(\mathbf {x} )\\[1em]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}(\mathbf {x} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(\mathbf {x} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}(\mathbf {x} )\\[.5em]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[.5em]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}(\mathbf {x} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}(\mathbf {x} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(\mathbf {x} )\end{bmatrix}}}$

gdzie ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(\mathbf {x} ),\quad i,j=1,2,\dots ,n}$ - pochodne cząstkowe drugiego rzędu obliczone w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} .}$

Uwaga: Oznaczenia

1. Punkt w przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej oznaczamy wytłuszczonym symbolem ${\displaystyle \mathbf {x} }$, zaś współrzędne tego punktu oznaczamy zwykłą czcionką ${\displaystyle x_{i},i=1,2,\dots ,n}$.
2. Macierz Hessego oznacza się też symbolami ${\displaystyle \nabla ^{2}}$, ${\displaystyle D^{2}}$, ${\displaystyle \nabla \nabla }$ lub ${\displaystyle \nabla \otimes \nabla }$.
3. W przypadku funkcji dwóch zmiennych ${\displaystyle f(x,y)}$ pochodne cząstkowe oznacza się też symbolami ${\displaystyle f_{x},f_{y}}$ - pochodne cząstkowe 1-go rzędu, ${\displaystyle f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}}$ - pochodne cząstkowe 2-go rzędu. Analogicznie dla funkcji 3 zmiennych ${\displaystyle f(x,y,z)}$.

Jeśli funkcja ${\displaystyle f}$ ma ciągłe drugie pochodne w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} }$, to macierz Hessego obliczona w tym punkcie jest symetryczna, tzn.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$

Innymi słowy: Macierz Hessego ${\displaystyle H(\mathbf {x} )}$ jest symetryczna w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} }$ jeżeli funkcja jest klasy ${\displaystyle C^{2}}$ w tym punkcie.

Punkt krytyczny to punkt '${\displaystyle \mathbf {x} }$', w którym gradient ${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )=\left[{\tfrac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{2}}},\dots ,{\tfrac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{n}}}\right]}$ jest równy zeru,

${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )=[0,0,\dots ,0]}$

co jest równoważne warunkowi zerowania się wszystkich pochodnych cząstkowych w tym punkcie

${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}=0,\quad i=1,2,\dots n}$

W punktach krytycznych funkcja może mieć ekstremum, punkt przegięcia, punkt siodłowy. Słuszne są następujące kryteria:

• Jeśli macierz Hessego jest dodatnio określona, to w punkcie krytycznym jest minimum lokalne.
• Jeśli macierz Hessego jest ujemnie określona, to w punkcie krytycznym jest maksimum lokalne.
• Jeśli macierz Hessego jest nieokreślona, punkt krytyczny jest punktem siodłowym.
• Jeśli macierz Hessego jest półokreślona lub zdegenerowana, to trzeba zanalizować wyższe pochodne lub dokonać analizy geometrycznej.

Jeżeli macierz Hessego jest symetryczna w punkcie krytycznym, to charakter tego punktu można określić na podstawie wartości własnych ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$ macierzy Hessego:

• jeśli wszystkie ${\displaystyle \lambda _{i}>0}$, to punkt krytyczny jest minimum lokalnym,
• jeśli wszystkie ${\displaystyle \lambda _{i}<0}$, to punkt krytyczny jest maksimum lokalnym,
• jeśli wartości ${\displaystyle \lambda _{i},i=1,2,\dots n}$ mają różne znaki, to punkt krytyczny jest punktem siodłowym,
• jeżeli conajmniej jedna wartość własna jest zerowa, ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$, to test za pomocą macierzy Hessego nie pozwala stwierdzić, jakiego rodzaju jest punkt krytyczny.

Jeżeli macierz Hessego jest symetryczna w punkcie krytycznym, to do określania charakter tego punktu można użyć też kryterium Sylwestra, które określa rodzaju punktów krytycznych na podstawie minorów głównych wiodących macierzy Hessego - jest mniej czasochłonne obliczeniowo, choć daje szybkie rozstrzygnięcia tylko w dwóch przykładach: gdy macierz Hessego jest dodatnio określona lub ujemnie określona (w pozostałych przypadkach wymaga zazwyczaj liczenia minorów głównych, których jest wielokrotnie więcej niż minorów głównych wiodących, co znacznie zwiększa długość obliczeń; wtedy bardziej praktyczne staje się liczenie wartości własnych macierzy).

(1) Jeżeli w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$ jest ${\displaystyle {\text{det}}H(\mathbf {x} )>0}$, to funkcja ${\displaystyle f(x,y)}$ ma ekstremum w tym punkcie, przy czym:

- jeżeli ${\displaystyle f_{xx}>0}$, to ma minimum lokalne

- jeżeli ${\displaystyle f_{xx}<0}$, to ma maksimum lokalne

(2) Jeżeli jest ${\displaystyle {\text{det}}H(\mathbf {x} )<0}$, to punkt ${\displaystyle \mathbf {x} }$ jest punktem siodłowym.

Uwaga 1: W przypadku punktu siodłowego ${\displaystyle f_{xx}}$ może mieć dowolną wartość, tj.${\displaystyle f_{xx}>0,=0,<0}$.

Uwaga 2: Nie da się podać tak prostych warunków dla funkcji trzech i większej liczby zmiennych.

Poniżej w tabeli zebrano podsumowanie wyżej wymienionych kryteriów.

Określoność macierzy Hessego	Rodzaj punktu krytycznego	Wartości własne	Minory główne wiodące (kryterium Sylwestra)
Dodatnio określona	Minimum lokalne	Wszystkie ${\displaystyle \lambda _{i}>0}$	Wszystkie główne minory wiodące ${\displaystyle \Delta _{i}>0}$
Ujemnie określona	Maksimum lokalne	Wszystkie ${\displaystyle \lambda _{i}<0}$	Minory wiodące główne mają znaki naprzemienne ${\displaystyle \Delta _{1}<0,\Delta _{2}>0,\Delta _{3}<0,\dots }$ zaczynając od minora ${\displaystyle \Delta _{1}}$ o 1 elemencie
Nieokreślona	Punkt siodłowy	część ${\displaystyle \lambda _{i}>0}$ część ${\displaystyle \lambda _{i}<0}$	niepraktyczne kryterium - zazwyczaj długie obliczenia
Półokreślona dodatnio	Test nie rozstrzyga	Wszystkie ${\displaystyle \lambda _{i}\geqslant 0}$, co najmniej jedno ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$	niepraktyczne kryterium - zazwyczaj długie obliczenia
Półokreślona ujemnie	Test nie rozstrzyga	Wszystkie ${\displaystyle \lambda _{i}\leqslant 0}$, co najmniej jedno ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$	niepraktyczne kryterium - zazwyczaj długie obliczenia
Zdegenerowana	Test nie rozstrzyga	Wszystkie ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$	niepraktyczne kryterium - zazwyczaj długie obliczenia

Uwaga: Dla funkcji jednej zmiennej ${\displaystyle f(x)}$ macierz Hessego ma postać macierzy ${\displaystyle 1\times 1}$, tj. ${\displaystyle H(x):={\begin{bmatrix}f_{xx}(x)\end{bmatrix}}}$. Jeżeli ${\displaystyle f_{x}(x)=0}$ ( warunek, że punkt ${\displaystyle x}$ jest punktem krytycznym), to z powyższej tabeli wynika, że:

a). gdy ${\displaystyle \Delta _{1}=f_{xx}(x)>0}$, to w ${\displaystyle x}$ jest minimum

b). gdy ${\displaystyle \Delta _{1}=f_{xx}(x)<0}$, to w ${\displaystyle x}$ jest maksimum

Są to dobrze znane warunki na ekstrema funkcji jednej zmiennej w punkcie krytycznym.

Z tabeli widać też, że dla funkcji 1 zmiennej kryterium nie stosuje się do rozstrzygania nt. punktów siodłowych (bo brak dwóch wartości własnych; punkty siodłowe mogą mieć dopiero funkcje 2 i większej liczby zmiennych).

Jeżeli macierz Hessego nie jest symetryczna w punkcie krytycznym, to charakteru tego punktu nie da się określić za pomocą macierzy Hessego. Trzeba stosować inne metody - np. metody geometryczne (por. przykład dalej).

Dla funkcji dwóch zmiennych:

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$

oblicz (a). macierz Hessego, (b). jej wartości własne, (c). ekstrema funkcji.

Rozwiązanie:

(a). Punkt krytyczny wyznaczamy z warunku: ${\displaystyle \nabla f=(0,\;0)}$. Ponieważ ${\displaystyle \nabla f=(f_{x},\;f_{y})=(2x+y,\;x+2y)}$, to otrzymujemy ${\displaystyle x=0,\;y=0.}$

(b). Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: ${\displaystyle f_{x}=2x+y,\quad f_{y}=x+2y}$

oraz pochodne cząstkowe drugiego rzędu:${\displaystyle f_{xx}=2,\;f_{yy}=2,\;f_{xy}=f_{yx}=1.}$

Stąd mamy: ${\displaystyle H(x,y)={\begin{bmatrix}2&1\\[4pt]1&2\end{bmatrix}}}$

(c). Równanie charakterystyczne: ${\displaystyle \det(H_{f}-\lambda I)=(2-\lambda )^{2}-1=0\Rightarrow 2-\lambda =\pm 1,}$ stąd mamy wartości własne ${\displaystyle \lambda _{1}=1,\;\lambda _{2}=3.}$ Obie wartości własne są dodatnie, więc macierz ${\displaystyle H_{f}}$ jest dodatnio określona - funkcja ma więc minimum w punkcie krytycznym. Wartość funkcji w minimum wynosi ${\displaystyle f(0,0)=0}$. Punkt ${\displaystyle (0,0)}$ jest jedynym i globalnym minimum funkcji, ponieważ macierz ${\displaystyle H(\mathbf {x} )}$ jest dodatnio określona w całej dziedzinie funkcji (funkcja jest więc ściśle wypukła).

Pokaż, że dla funkcji

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},&(x,y)\neq (0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

gradient w punkcie ${\displaystyle (0,0)}$ zeruje się, ale pochodne mieszane w tym punkcie są różne, tj. ${\displaystyle f_{xy}(0,0)\neq f_{yx}(0,0).}$ Określ rodzaj punktu krytycznego funkcji.

(a). Pochodne pierwszego rzędu w punkcie ${\displaystyle (0,0)}$

Dla ${\displaystyle y=0}$ mamy ${\displaystyle f(x,0)=0}$, więc

${\displaystyle f_{x}(0,0)=\lim _{h\to 0}{\dfrac {f(h,0)-f(0,0)}{h}}=0.}$

Analogicznie ${\displaystyle f_{y}(0,0)=0}$. Wynika stąd, że gradient w punkcie ${\displaystyle (0,0)}$ zeruje się - punkt ten jest więc punktem krytycznym.

(b). Obliczenie pochodnej ${\displaystyle f_{xy}(x,y)}$ w punkcie ${\displaystyle (0,0)}$

Najpierw liczymy pochodną cząstkową względem ${\displaystyle x}$ wzdłuż osi ${\displaystyle x=0}$ dla ${\displaystyle y\neq 0}$

${\displaystyle f_{x}(0,y)=\lim _{h\to 0}{\dfrac {f(h,y)-f(0,y)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\dfrac {f(h,y)}{h}}}$

Dla ${\displaystyle h\neq 0}$, ${\displaystyle y\neq 0}$ mamy

${\displaystyle {\dfrac {f(h,y)}{h}}=y{\dfrac {h^{2}-y^{2}}{h^{2}+y^{2}}}}$

więc

${\displaystyle f_{x}(0,y)=\lim _{h\to 0}y{\dfrac {h^{2}-y^{2}}{h^{2}+y^{2}}}=y{\dfrac {0-y^{2}}{0+y^{2}}}=-y}$

Stąd

${\displaystyle f_{xy}(0,0)=\lim _{y\to 0}{\dfrac {f_{x}(0,y)-f_{x}(0,0)}{y}}=\lim _{y\to 0}{\dfrac {-y-0}{y}}=-1}$

(c). Obliczenie pochodnej ${\displaystyle f_{yx}(0,0)}$ w punkcie ${\displaystyle (0,0)}$

Najpierw liczymy pochodną względem ${\displaystyle y}$ wzdłuż osi ${\displaystyle y=0}$ dla ${\displaystyle x\neq 0}$

${\displaystyle f_{y}(x,0)=\lim _{k\to 0}{\dfrac {f(x,k)-f(x,0)}{k}}=\lim _{k\to 0}{\dfrac {f(x,k)}{k}}.}$

Dla ${\displaystyle k\neq 0}$, ${\displaystyle x\neq 0}$ mamy

${\displaystyle {\dfrac {f(x,k)}{k}}=x{\dfrac {x^{2}-k^{2}}{x^{2}+k^{2}}}}$

więc

${\displaystyle f_{y}(x,0)=\lim _{k\to 0}x{\dfrac {x^{2}-k^{2}}{x^{2}+k^{2}}}=x}$

Stąd

${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x-0}{x}}=1}$

(d). Wniosek

Pochodne mieszane w punkcie ${\displaystyle (0,0)}$ są różne:

${\displaystyle f_{xy}(0,0)=-1,\quad f_{yx}(0,0)=1,}$

Oznacza to, że funkcja nie należy do klasy ${\displaystyle C^{2}}$ w punkcie ${\displaystyle (0,0)}$, a hesjan nie jest symetryczny. Punkt ${\displaystyle (0,0)}$ jest jednak punktem krytycznym. Aby określić jego charakter, nie można posłużyć się kryterium z wartościami własnym hesjanu (są de facto liczbami zespolonymi). Aby to rozstrzygnąć, wystarczy zauważyć, że przekroje wykresu funkcji poprowadzone przez punkt krytyczny zmieniają osiem razy krzywiznę z ujemnej na dodatnią przy obrocie o ${\displaystyle 360}$ stopni wokół tego punktu - oznacza to, że funkcja wokół ${\displaystyle (0,0)}$ przyjmuje wartości zarówno większe jak i mniejsze niż w punkcie ${\displaystyle (0,0)}$, więc w punkcie tym mamy siodło.

Dla funkcji ${\displaystyle f(x,y)=x^{4}+y^{4}}$ mamy

a). Punkt krytyczny:

${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}4x^{3}\\4y^{3}\end{pmatrix}}=0\implies (x,y)=(0,0)}$

b). Hesjan w punkcie krytycznym:

${\displaystyle H(x,y)={\begin{pmatrix}12x^{2}&0\\0&12y^{2}\end{pmatrix}},\quad H(0,0)={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$

Wszystkie minory ${\displaystyle =0}$, wszystkie wartości własne też są zerowe - macierz Hessego jest zdegenerowana. Kryterium drugiej pochodnej jest więc niewystarczające. Metodą geometryczną można stwierdzić, że punkt ${\displaystyle (0,0)}$ jest minimum lokalnym.

• gradient
• hesjan obrzeżony
• jakobian
• ekstremum funkcji
• punkt siodłowy
• minor

Teksty:

• Barbara Biły, Ekstremum funkcji wielu zmiennych, Katedra Matematyki, Politechnika Śląska [dostęp 2025-11-26]

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hessian, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01]

Filmy:

• Ekstremum funkcji wielu zmiennych, ekstrema warunkowe - rozwiązywanie zadań, kanał Matematyka Na Plus na YouTube