Pochodna logarytmiczna

Pochodna logarytmiczna funkcji ${\displaystyle f(x)}$ – pochodna logarytmu naturalnego funkcji ${\displaystyle f}$^[1],

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}.}$

Powyższy wzór można wyprowadzić używając wzoru na pochodną złożenia.

Jest ona często używana w analizie matematycznej, szczególnie w analizie zespolonej.

1. Pochodna logarytmiczna iloczynu funkcji jest sumą pochodnych logarytmicznych funkcji. Wynika to wprost ze wzoru na logarytm iloczynu^[a].

   ${\displaystyle (\ln fg)'=(\ln f+\ln g)'=(\ln f)'+(\ln g)'.}$

2. Pochodna logarytmiczna ilorazu funkcji jest różnicą pochodnych logarytmicznych funkcji. Wynika to wprost ze wzoru na logarytm ilorazu.

   ${\displaystyle \left(\ln {\frac {f}{g}}\right)'=(\ln f-\ln g)'=(\ln f)'-(\ln g)'.}$

3. Pochodna logarytmiczna odwrotności funkcji jest wartością przeciwną do pochodnej logarytmicznej funkcji.

   ${\displaystyle (\ln 1/f)'=(-\ln f)'=-(\ln f)'.}$

4. Pochodna logarytmiczna ${\displaystyle n}$-tej potęgi funkcji jest pochodną logarytmiczną tejże funkcji przemnożoną przez ${\displaystyle n}$

   ${\displaystyle (\ln f^{n})'=(n\ln f)'=n(\ln f)'.}$

Przekształcając wzór na pochodną logarytmiczną otrzymujemy wzór na ${\displaystyle f'}$^[a]:

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}},}$

${\displaystyle f'=f\cdot (\ln f)'.}$

Gdy ${\displaystyle f}$ jest postaci

${\displaystyle f=g^{h},}$

otrzymujemy wzór

${\displaystyle f'=f\cdot (h\cdot \ln g)'=f\cdot \left(h'\cdot \ln g+h{\frac {g'}{g}}\right).}$

1. Pochodna wyrażenia ${\displaystyle 2^{x}}$ jest równa

   ${\displaystyle (2^{x})'=2^{x}(x\cdot \ln 2)'=2^{x}\ln 2.}$

2. Pochodna wyrażenia ${\displaystyle x^{2x}}$ jest równa

   ${\displaystyle (x^{2x})'=x^{2x}(2x\cdot \ln x)'=2x^{2x}(\ln x+1).}$

Gdy funkcja ${\displaystyle f}$ jest postaci^[a]

${\displaystyle f=f_{1}\cdot f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n}=\prod \limits _{k=1}^{n}f_{k},}$

używając wzoru na pochodną logarytmiczną iloczynu otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+{\frac {f_{2}'}{f_{2}}}+\ldots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {f_{k}'}{f_{k}}},}$

czyli wzór na pochodną ${\displaystyle f'}$ jest następujący:

${\displaystyle f'=f\cdot \left({\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+{\frac {f_{2}'}{f_{2}}}+\ldots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}\right)=f\cdot \left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {f_{k}'}{f_{k}}}\right).}$

W szczególnym przypadku (gdy ${\displaystyle f=g\cdot h}$) mamy:

${\displaystyle f'=f\cdot \left({\frac {g'}{g}}+{\frac {h'}{h}}\right).}$

1. Pochodna wyrażenia ${\displaystyle x\cos(x)}$ jest równa

   ${\displaystyle (x\cos(x))'=x\cos(x)\cdot \left({\frac {1}{x}}-{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right).}$

2. Pochodna wyrażenia ${\displaystyle 2x\sin(x)\ln(x)}$ jest równa

   ${\displaystyle (2x\sin(x)\ln(x))'=2x\sin(x)\ln(x)\cdot \left({\frac {2}{2x}}+{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}+{\frac {1}{x\ln(x)}}\right).}$

Oznaczając pochodną logarytmiczną ${\displaystyle f}$ poprzez ${\displaystyle D_{\log }\;f}$ otrzymujemy:

• ${\displaystyle D_{\log }\;x={\frac {1}{x}}}$

• ${\displaystyle D_{\log }\;x^{2}={\frac {2}{x}}}$

• ${\displaystyle D_{\log }\;{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x}}}$

• ${\displaystyle D_{\log }\;x^{n}={\frac {n}{x}}}$

• ${\displaystyle D_{\log }\;ke^{x}=1}$

• ${\displaystyle D_{\log }\;ke^{nx}=n}$

• ${\displaystyle D_{\log }\;\ln(x)={\frac {1}{x\ln(x)}}}$

Jeżeli ${\displaystyle f(z)}$ jest funkcją holomorficzną (analityczną) wewnątrz obszaru ograniczonego ${\displaystyle D}$ i na jego brzegu ${\displaystyle C}$ zorientowanym dodatnio względem ${\displaystyle D,}$ która nie przyjmuje wartości 0 na ${\displaystyle C}$ to^[2]:

${\displaystyle Z={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz,}$

gdzie ${\displaystyle Z}$ oznacza liczbę zer funkcji ${\displaystyle f(z)}$ wewnątrz ${\displaystyle D}$ (gdzie zero ${\displaystyle k}$-krotne liczy się jako ${\displaystyle k}$).

Jeśli w obszarze ${\displaystyle D}$ funkcja ${\displaystyle f(z)}$ jest meromorficzna, natomiast na ${\displaystyle C}$ funkcja ta nie ma ani zer, ani biegunów to

${\displaystyle Z-B={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz,}$

gdzie dodatkowo ${\displaystyle B}$ oznacza liczbę biegunów funkcji ${\displaystyle f(z)}$ wewnątrz ${\displaystyle D}$ (gdzie biegun ${\displaystyle k}$-krotny liczy się jako ${\displaystyle k}$).

• funkcja digamma