Podgrupa – zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji, umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych”^[a] podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne^[b] o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

 Zobacz też: grupa i podzbiór.

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą; podzbiór ${\displaystyle H\subseteq G,}$ który tworzy grupę ze względu na działanie określone na ${\displaystyle G,}$ nazywa się podgrupą grupy ${\displaystyle G}$ i oznacza zwykle ${\displaystyle H\leqslant G}$^[c]. Podgrupę ${\displaystyle H}$ jako grupę charakteryzują następujące warunki:

• Wewnętrzność: działanie grupowe na ${\displaystyle H}$ jest zawężeniem działania grupy ${\displaystyle G}$ do zbioru ${\displaystyle H;}$ dlatego iloczyn elementów ${\displaystyle a,b\in H}$ obliczany jest jako iloczyn elementów ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b}$ w grupie ${\displaystyle G;}$ aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na ${\displaystyle H}$ dane wzorem ${\displaystyle (a,b)\mapsto ab}$ tak jak w grupie ${\displaystyle G}$ potrzeba, a zarazem wystarcza, by ${\displaystyle ab\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H.}$ Innymi słowy zbiór ${\displaystyle H}$ musi być zamknięty ze względu na działanie w ${\displaystyle G.}$
• Łączność: działanie w ${\displaystyle H}$ musi być łączne, czyli dla wszystkich ${\displaystyle a,b,c\in H}$ musi zachodzić ${\displaystyle (ab)c=a(bc);}$ wiadomo jednak, że ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ dla ${\displaystyle a,b,c\in G,}$ a ponieważ ${\displaystyle H\subseteq G,}$ to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów ${\displaystyle a,b,c\in H;}$ w ten sposób łączność działania w ${\displaystyle H}$ dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w ${\displaystyle G}$).
• Element neutralny: zbiór ${\displaystyle H}$ nie może być pusty, gdyż jako grupa ${\displaystyle H}$ musi mieć element neutralny; niech ${\displaystyle e\in H}$ spełnia ${\displaystyle ae=a}$ dla dowolnego ${\displaystyle a\in H;}$ w szczególności dla elementu neutralnego ${\displaystyle e}$ grupy ${\displaystyle H}$ zachodzi ${\displaystyle ee=e,}$ a ponieważ ${\displaystyle e\in H\subseteq G,}$ to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym grupy ${\displaystyle G;}$ oznacza to, że element neutralny grupy ${\displaystyle G}$ jest zarazem elementem neutralnym w ${\displaystyle H,}$ o ile tylko należy on do ${\displaystyle H,}$ tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w ${\displaystyle H,}$ gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w ${\displaystyle G}$ należy do ${\displaystyle H.}$
• Odwracalność: dla każdego ${\displaystyle a\in H}$ musi istnieć ${\displaystyle x\in H,}$ dla których ${\displaystyle ax=e;}$ odczytanie tego równania w grupie ${\displaystyle G}$ daje natychmiastowo rozwiązanie ${\displaystyle x=a^{-1}}$ w postaci elementu odwrotnego do ${\displaystyle a}$ w grupie ${\displaystyle G;}$ element odwrotny do ${\displaystyle a}$ istnieje w ${\displaystyle G,}$ dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny ${\displaystyle a^{-1}}$ do ${\displaystyle a}$ należący do ${\displaystyle G}$ jest również elementem ${\displaystyle H.}$

Podsumowując: niepusty podzbiór ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

• jest zamknięty na działanie: ${\displaystyle ab\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H;}$
• zawiera element neutralny grupy: ${\displaystyle e\in H;}$
• jest zamknięty na odwracanie: ${\displaystyle a^{-1}\in H}$ dla każdego ${\displaystyle a\in H.}$

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech ${\displaystyle a\in H}$ (gdyż ${\displaystyle H}$ jest niepusty, ${\displaystyle H\neq \varnothing }$), wtedy z trzeciego warunku ${\displaystyle a^{-1}\in H,}$ a więc ${\displaystyle aa^{-1}\in H}$ na mocy pierwszego, co daje ${\displaystyle e\in H.}$ Innymi słowy sprawdzenie, czy ${\displaystyle e\in H,}$ można pominąć zakładając, iż ${\displaystyle H}$ jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy ${\displaystyle H\neq \varnothing ,}$ to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy ${\displaystyle e\in H.}$ Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

Kryterium bycia podgrupą

Niepusty podzbiór ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki

${\displaystyle ab\in H\;\;\quad \mathrm {dla\ wszystkich\ } a,b\in H;}$

oraz

${\displaystyle a^{-1}\in H\quad \mathrm {dla\ ka{\dot {z}}dego\ } a\in H.}$

Powyższe dwa warunki (wraz z ${\displaystyle H\neq \varnothing }$) często łączy się w jeden: ${\displaystyle a^{-1}b\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H}$^[d]; jest on zupełnie równoważny warunkowi ${\displaystyle ab^{-1}\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H}$^[e]. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

Kryterium bycia podgrupą grupy skończonej

Niepusty podzbiór skończony ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ bądź niepusty podzbiór ${\displaystyle H}$ grupy skończonej ${\displaystyle G}$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle ab\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H}$^[f][g].

Podgrupy trywialna i niewłaściwa

 Zobacz też: grupa trywialna.

W dowolnej grupie ${\displaystyle G}$ zbiór jednoelementowy ${\displaystyle \{e\}}$ oraz zbiór ${\displaystyle G}$ są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli ${\displaystyle H}$ jest podgrupą właściwą w ${\displaystyle G,}$ to czasem używa się oznaczenia ${\displaystyle H<G}$^[h], nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli ${\displaystyle H}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G,}$ zaś ${\displaystyle K}$ jest podgrupą w ${\displaystyle H,}$ to ${\displaystyle K}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G.}$

Kryterium bycia podgrupą

 Zobacz też: dzielnik, część wspólna i grupa permutacji.

Niech ${\displaystyle 4\mathbb {Z} =\{4z\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}=\{u\in \mathbb {Z} \colon 4\mid u\}}$ będzie podzbiorem liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ podzielnych przez ${\displaystyle 4.}$ Zbiór ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności^[i], a więc ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ jest podgrupą w ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Analogicznie dowodzi się, że zbiór ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}}$ dla dowolnego ${\displaystyle n}$ będącego liczbą naturalną jest podgrupą w ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.

Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\times }}$ w grupie ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$ niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli ${\displaystyle a,b>0,}$ to ${\displaystyle ab>0}$ oraz ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}>0;}$ podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (należy wyżej zastąpić ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ znakiem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).

Jeżeli ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ są podgrupami w ${\displaystyle G,}$ to ich część wspólna ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}$ również jest podgrupą w ${\displaystyle G}$^[j]. Analogicznie część wspólna ${\displaystyle \bigcap \nolimits _{i\in I}H_{i}}$ rodziny ${\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}}$ podgrup grupy ${\displaystyle G}$ indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów ${\displaystyle I}$ również jest podgrupą w ${\displaystyle G.}$

Niech ${\displaystyle S}$ oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego ${\displaystyle [0,1]}$ liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Motywacja). Zbiór ${\displaystyle T=\{f\in S\colon f(0)=0\}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle S}$ jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:

• Otóż zbiór ${\displaystyle T}$ jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe ${\displaystyle i\in S}$ dane wzorem ${\displaystyle i(x)=x,}$ dla którego zachodzi ${\displaystyle i(0)=0.}$
• Ponadto jeżeli ${\displaystyle f,g\in T,}$ to ${\displaystyle f(0)=0}$ oraz ${\displaystyle g(0)=0,}$ co oznacza ${\displaystyle (f\circ g)(0)=f(g(0))=f(0)=0,}$ a więc ${\displaystyle f\circ g\in T.}$
• Wreszcie jeśli ${\displaystyle f\in T,}$ to ${\displaystyle f(0)=0,}$ a zatem ${\displaystyle f^{-1}(f(0))=f^{-1}(0),}$ stąd ${\displaystyle \left(f^{-1}\circ f\right)(0)=i(0)=f^{-1}(0),}$ tzn. ${\displaystyle 0=f^{-1}(0),}$ czyli ${\displaystyle f^{-1}\in T.}$

Kryterium bycia podgrupą skończoną

 Zobacz też: arytmetyka modularna, reszta z dzielenia i rząd.

Niech dany będzie podzbiór ${\displaystyle U=\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}}$ grupy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ wraz z mnożeniem modulo ${\displaystyle 8,}$ przy czym ${\displaystyle {\overline {x}}}$ oznacza redukcję liczby całkowitej ${\displaystyle x}$ modulo ${\displaystyle 8}$ (tzn. resztę z dzielenia ${\displaystyle x}$ przez ${\displaystyle 8}$). Ponieważ

${\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {3}}={\overline {3}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {5}}={\overline {5}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {7}}={\overline {7}},\\{\overline {3}}\ {\overline {1}}={\overline {3}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {5}}={\overline {7}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {7}}={\overline {5}},\\{\overline {5}}\ {\overline {1}}={\overline {5}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {3}}={\overline {7}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {7}}={\overline {3}},\\{\overline {7}}\ {\overline {1}}={\overline {7}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {3}}={\overline {5}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {5}}={\overline {3}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},\end{matrix}}}$

to zbiór ${\displaystyle U}$ jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór ${\displaystyle U}$ powinien być podgrupą w ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}.}$ Byłaby to prawda, gdyby ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu ${\displaystyle {\overline {0}}}$); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę (z tym samym działaniem).

Mimo to ${\displaystyle U}$ jest grupą ze względu na mnożenie^[k]: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest łączne (jest ono w istocie łączne na ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8},}$ co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto ${\displaystyle {\overline {1}}\in U}$ oraz ${\displaystyle {\overline {a}}\ {\overline {1}}={\overline {a}}}$ dla wszystkich ${\displaystyle {\overline {a}}\in U}$ (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd ${\displaystyle {\overline {1}}}$ jest elementem neutralnym w ${\displaystyle U;}$ każdy element ${\displaystyle U}$ ma odwrotność należącą do ${\displaystyle U}$ – wynika to z równań ${\displaystyle {\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},}$ ${\displaystyle {\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},}$ ${\displaystyle {\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},}$ ${\displaystyle {\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},}$ oraz ${\displaystyle {\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\in U.}$ Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną, można się przekonać, iż podzbiory ${\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}}\},}$ ${\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {5}}\},}$ ${\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {7}}\}}$ są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w ${\displaystyle U,}$ gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w ${\displaystyle U}$ mają rzędy ${\displaystyle 1,2,4,}$ które są dzielnikami rzędu ${\displaystyle |U|=4}$ grupy ${\displaystyle U.}$

Podzbiór ${\displaystyle E=\{1,-1,i,-i\}}$ tworzy podgrupę grupy ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że ${\displaystyle \{1,-1\}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle E.}$ Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby ${\displaystyle i}$ lub ${\displaystyle -i,}$ to musiałaby także zawierać ${\displaystyle i^{2},i^{3},i^{4}}$ lub ${\displaystyle (-i)^{2},(-i)^{3},(-i)^{4},}$ czyli tworzyłaby wtedy całą grupę ${\displaystyle E.}$ Dlatego ${\displaystyle E}$ ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu ${\displaystyle 1,}$ jedną rzędu ${\displaystyle 2}$ i jedną rzędu ${\displaystyle 4.}$ W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu ${\displaystyle |E|=4}$ grupy ${\displaystyle E.}$

Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli ${\displaystyle P=\{z\in \mathbb {Z} \colon z>0\}}$ jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z liczbami naturalnymi ${\displaystyle \mathbb {N} }$), to mimo iż ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór ${\displaystyle P}$ jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania ${\displaystyle (0\notin P);}$ rozpatrywanie ${\displaystyle N=\{z\in \mathbb {Z} \colon z\geqslant 0\}}$ (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę grupy cyklicznej, zob. izomorfizm).

Sumy mnogościowe

 Zobacz też: suma zbiorów.

W ogólności suma mnogościowa ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$ podgrup ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle H_{1}\subseteq H_{2}}$ lub ${\displaystyle H_{1}\supseteq H_{2}}$^[l]; wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli ${\displaystyle H}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G}$ zawartą w ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2},}$ to ${\displaystyle H}$ zawiera się w całości w ${\displaystyle H_{1}}$ lub ${\displaystyle H_{2}}$ (być może w obu z nich)^[m][n]. Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę^[o]. Twierdzenie Scorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one indeksu dwa, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe^[p][q][r], z kolei twierdzenie Cohna (będące jego rozszerzeniem) charakteryzuje grupy będące sumą mnogościową czterech, pięciu i sześciu ich podgrup właściwych^[s], zaś twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych^[t][u].

Pojęcia

 Zobacz też: zbiór generatorów grupy, grupa cykliczna i rząd.

Podgrupę grupy ${\displaystyle G}$ generowaną przez jej podzbiór ${\displaystyle X}$ można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru ${\displaystyle X,}$ tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór ${\displaystyle X.}$ Podgrupę generowaną przez jednoelementowy podzbiór ${\displaystyle \{a\}}$ grupy ${\displaystyle G}$ nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez ${\displaystyle a,}$ zaś sam element ${\displaystyle a}$ nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu ${\displaystyle a}$ nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej liczbę elementów.

Przypadki grup ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle E}$ opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w rząd: Własności); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany twierdzeniem Lagrange’a, wymaga znajomości pojęcia warstwy grupy względem jej podgrupy.

Własności

 Osobne artykuły: centralizator oraz centrum, komutant i podgrupa normalna.

Niech ${\displaystyle G}$ będzie dowolną grupą; zbiór ${\displaystyle \mathrm {C} (x)=\{a\in G\colon ax=xa\}}$ elementów grupy ${\displaystyle G}$ przemiennych z ustalonym jej elementem ${\displaystyle x\in G}$ tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu ${\displaystyle x}$^[v]; podobnie zbiór ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)=\{a\in G\colon ax=xa{\mbox{ dla }}x\in G\}}$ elementów grupy ${\displaystyle G,}$ które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy ${\displaystyle G}$^[w].

Dla dwóch elementów ${\displaystyle x,y}$ dowolnej grupy ${\displaystyle G}$ element ${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$ nazywa się ich komutatorem; przy czym ${\displaystyle [x,y]=e}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x,y}$ są przemienne, tzn. ${\displaystyle xy=yx.}$ Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. grup doskonałych) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie generowaną (zob. Przykłady): dla danych dwóch podzbiorów ${\displaystyle X,Y}$ grupy ${\displaystyle G}$ ich komutantem ${\displaystyle [X,Y]}$ nazywa się podgrupę w ${\displaystyle G}$ generowaną przez wszystkie komutatory ${\displaystyle [x,y],}$ gdzie ${\displaystyle x\in X}$ oraz ${\displaystyle y\in Y.}$ Podgrupę ${\displaystyle [G,G]}$ nazywa się komutantem lub pochodną grupy ${\displaystyle G.}$

Centrum i komutant są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup ${\displaystyle H}$ pewnej grupy ${\displaystyle G,}$ które są przemienne z dowolnym elementem ${\displaystyle a\in G,}$ tzn. dla każdego ${\displaystyle a\in G,}$ zachodzi ${\displaystyle aH=Ha}$^[x][y]. Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. grup ilorazowych; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ z mnożeniem modulo ${\displaystyle n}$ z grupy liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oraz jej podgrupy ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ (zob. wyżej).

Ilustracje

Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto:

• grupę wszystkich izometrii danej przestrzeni euklidesowej (z działaniem składania przekształceń) nazywaną grupą euklidesową wraz z jej podgrupami: przesunięć, odbić, czy obrotów;
• grupę wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym ciałem^[z] nazywaną pełną grupą liniową z podgrupami: diagonalną, skalarną oraz specjalną grupą liniową; wśród pozostałych można wymienić podgrupy: ortogonalną, unitarną i symplektyczną;
• grupę wszystkich permutacji zbioru skończonego z działaniem ich składania nazywaną grupą symetryczną (bądź grupą permutacji) wraz z grupą alternującą tego zbioru jako jej podgrupą.

Twierdzenie Cayleya mówi o tym, iż każda grupa może być postrzegana jako podgrupa grupy symetrycznej: dzięki temu twierdzenia obowiązujące dla grup symetrycznych są prawdziwe również dla wszystkich grup abstrakcyjnych.

• p-podgrupa (Sylowa), podgrupa torsyjna
• podgrupa Cartana, podgrupa Fittinga, podgrupa z operatorami (podgrupa stabilna)