Centralizator i normalizator

Centralizator (centrum), normalizator – specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Niech ${\displaystyle x\in G.}$ Centralizatorem elementu ${\displaystyle x}$ nazywamy podgrupę

${\displaystyle C_{G}(x)=\{g\in G:gx=xg\}.}$

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru ${\displaystyle G,}$ niekoniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru ${\displaystyle H\subset G}$ nazywamy grupę

${\displaystyle C(H)=\{g\in G:\forall _{h\in H}\;gh=hg\}.}$

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru ${\displaystyle H.}$

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

${\displaystyle Z(G)=C_{G}(G).}$

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy ${\displaystyle G,}$ mamy zatem ${\displaystyle Z(G)=\{x\in G:\forall _{g\in G}xg=gx\}.}$

O centralizatorze elementu ${\displaystyle x}$ można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie ${\displaystyle H\leqslant G}$ zawierającej ${\displaystyle x}$ w swoim centrum ${\displaystyle Z(H).}$

Indeks grupy względem centrum ${\displaystyle (G:Z(G))}$ można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elementów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia, ${\displaystyle Z(R).}$

Jeśli ${\displaystyle (G:Z(G))<\infty ,}$ to ${\displaystyle |[G,G]|<\infty .}$

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w^[1].

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru ${\displaystyle H\subset G.}$

Normalizatorem ${\displaystyle H}$ w ${\displaystyle G}$ jest podgrupa

${\displaystyle N_{G}(H)=\{g\in G:gH=Hg\}\leqslant G.}$

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli ${\displaystyle H\leqslant G,}$ to ${\displaystyle N_{G}(H)}$ jest największą podgrupą ${\displaystyle G}$ mającą ${\displaystyle H}$ jako swoją podgrupę normalną.

Niech ${\displaystyle H\leqslant G}$ będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy ${\displaystyle \varphi :G\to \Sigma _{G/H}}$ grupy ${\displaystyle G}$ na zbiorze warstw ${\displaystyle G/H}$ zadane wzorem ${\displaystyle \varphi _{g}(aH)=gaH.}$ Wówczas ${\displaystyle \ker \varphi =\bigcap _{g\in G}\;gHg^{-1}\leqslant H}$ jest podgrupą normalną ${\displaystyle G.}$ Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w ${\displaystyle H.}$

Jeśli ${\displaystyle H\triangleleft G,}$ to ${\displaystyle H=\ker \varphi }$

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie ${\displaystyle G}$ mamy więc ${\displaystyle C(H)\equiv C_{G}(H)}$ oraz ${\displaystyle N(H)\equiv N_{G}(H)}$ dla dowolnego zbioru ${\displaystyle H\subset G.}$

Niech ${\displaystyle G,G_{1},G_{2}}$ będą grupami, ${\displaystyle H\subset G{:}}$

• Niech ${\displaystyle a,b\in G.}$ ${\displaystyle a\in C(b)\iff b\in C(a),}$ co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ komutują ze sobą.
  • Jeśli ${\displaystyle G=\{a\},}$ to ${\displaystyle N(S)=C(S)=C(a).}$
• Jeśli ${\displaystyle G}$ jest abelowa, to ${\displaystyle C(H)=G}$ oraz ${\displaystyle N(H)=G,}$
  • grupa ${\displaystyle G}$ jest abelowa ${\displaystyle \iff Z(G)=G.}$
• ${\displaystyle C(H)}$ jest zawsze podgrupą normalną ${\displaystyle N(H),}$
  • ${\displaystyle Z(G)}$ jest podgrupą normalną ${\displaystyle G.}$
• ${\displaystyle Z(G_{1}\times G_{2})=Z(G_{1})\times Z(G_{2})}$
• Jeśli grupa ilorazowa ${\displaystyle G/Z(G)}$ jest cykliczna, to ${\displaystyle G}$ jest abelowa.
• Jeśli ${\displaystyle G}$ jest grupą nieabelową, to jej indeks względem ${\displaystyle Z(G)}$ jest większy od ${\displaystyle 3.}$
• Jeśli ${\displaystyle X\neq \varnothing ,}$ to ${\displaystyle Z(G^{X})=(Z(G))^{X}.}$

Jeżeli ${\displaystyle H\leqslant G,}$ wtedy grupa ilorazowa ${\displaystyle N(H)/C(H)}$ jest izomorficzna z podgrupą ${\displaystyle \operatorname {Aut} (H),}$ grupą automorfizmów ${\displaystyle H.}$

Jeżeli ${\displaystyle N_{G}(G)=G,}$ to ${\displaystyle G/Z(G)}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G),}$ podgrupą ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$ zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy ${\displaystyle G.}$

Jeżeli ${\displaystyle H\subset G,}$ to homomorfizm ${\displaystyle \varphi \colon G\to \operatorname {Inn} (G)}$ taki, że ${\displaystyle \varphi (x)(g)=\varphi _{x}(g)=xgx^{-1},}$ pozwala na opisanie ${\displaystyle N(H)}$ oraz ${\displaystyle C(H)}$ w terminach działania grupy ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$ na grupie ${\displaystyle G{:}}$

• ${\displaystyle \varphi (N(H))}$ jest stabilizatorem ${\displaystyle H}$ w ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G),}$
• ${\displaystyle \varphi (C(H))\leqslant \operatorname {Inn} (G)}$ jest podgrupą punktów stałych ${\displaystyle H.}$

• działanie grupy na zbiorze
• grupa
• grupa ilorazowa

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.