Funkcja liniowa – dowolna funkcja matematyczna opisana równaniem liniowym, czyli postaci[1]:
gdzie argumentami są liczby rzeczywiste lub inne obiekty, które można dodawać i mnożyć, np. liczby zespolone. Parametry są dowolnymi stałymi znanymi jako współczynnik kierunkowy[1] i wyraz wolny[2]. O dwóch zmiennych, z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są liniowo zależne lub w zależności liniowej[3]. Jest to uogólnienie funkcji stałych, dla których oraz proporcjonalności prostej, przy której [1].
Jeśli argumentami takiej funkcji są liczby rzeczywiste, to dziedziną może być cała oś rzeczywista, a wykresem w kartezjańskim układzie współrzędnych jest linia prosta[1].
Funkcje liniowe mają wiele zastosowań związanych z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi: korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego; w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.
Funkcje liniowe mają różne uogólnienia jak funkcje:
- przedziałami liniowe, zdefiniowane różnymi wzorami liniowymi na różnych przedziałach;
- wielomianowe, zawierające też wyższe potęgi zmiennej;
- homograficzne będące ilorazami funkcji liniowych.
W algebrze liniowej „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. przestrzeni liniowych. Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi, a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest funkcją jednorodną, tj. gdy mają one wówczas postać proporcjonalności prostej
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem
gdzie i są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródła[4] wymagają dodatkowo, aby była niezdegenerowana, tj.
Większość źródeł nie stawia takich wymagań.
Własności
[edytuj | edytuj kod]Jeśli to jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla i malejąca dla ponadto jest różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna. Jest więc odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli to jest nieparzysta.
Jeśli to jest funkcją stałą i jako taka jest ograniczona, parzysta, nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo to jest jednocześnie nieparzysta.
Jeśli to ma dokładnie jedno miejsce zerowe postaci Jeśli to nie ma miejsc zerowych, gdy i ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy
Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli to:
Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest ciągła i różniczkowalna (a więc także gładka), przy czym pierwsza pochodna jest równa a kolejne są tożsamościowo równe zeru.
Wykres funkcji liniowej
[edytuj | edytuj kod]W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa ma wykres będący prostą, przy czym
- przecina ona oś w punkcie
- przecina ona oś w punkcie dla nie przecina tej osi, gdy
W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) zachodzi
gdzie jest kątem skierowanym między wykresem i osią
Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest tangensem kąta skierowanego co tłumaczy nazwę tego współczynnika.
Każda prosta nierównoległa do osi jest wykresem pewnej funkcji liniowej.
Własności grupowe i reprezentacja macierzowa
[edytuj | edytuj kod]- Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:
- Wówczas
- także jest funkcją liniową.
- Dla funkcji i zachodzi
- Ponadto dla funkcji w której funkcja jest funkcją odwrotną:
Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest bijekcją, więc działanie składania takich funkcji jest działaniem łącznym. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest grupą.
Funkcję liniową można reprezentować jako macierz postaci:
przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.
Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności pierścienia macierzy górnotrójkątnych powyższej postaci. Jeśli dodatkowo to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie[a].
Własności geometryczne i uogólnienia
[edytuj | edytuj kod]Niezdegenerowana funkcja liniowa postaci jest podobieństwem prostej na siebie, przy tym jest skalą tego podobieństwa.
Ponadto:
- dla jest to tożsamość,
- dla jest to translacja o przesunięciu
- dla jest to symetria środkowa względem punktu
Dla jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji)[b].
Jeśli nie jest translacją, tj. to ma ona punkt stały
Funkcja liniowa niezdegenerowana ma swoje uogólnienie na płaszczyznę i ogólniej – na i nazywa się wówczas przekształceniem afinicznym (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):
gdzie jest nieosobliwą macierzą
Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.
Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja postaci
gdzie nie wszystkie są zerowe.
Jej wykresem jest pewna hiperpłaszczyzna w przestrzeni
Przykłady zależności liniowych
[edytuj | edytuj kod]Matematyka
[edytuj | edytuj kod]- Wartość -tego wyrazu ciągu arytmetycznego jest liniową funkcją jego numeru
- gdzie jest różnicą ciągu, jego pierwszym wyrazem.
Fizyka
[edytuj | edytuj kod]- Temperatura w skali Fahrenehita jest liniową funkcją temperatury w skali Celsjusza:
- W kinematyce: w ruchu jednostajnym prostoliniowym położenie jest liniową funkcją czasu
- gdzie jest prędkością, położeniem początkowym.
- W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość jest liniową funkcją czasu
- gdzie jest przyspieszeniem, jest prędkością początkową.
- Efekt Dopplera: jeśli obserwator zbliża się z prędkością do nieruchomego źródła fali o częstotliwości to częstotliwość odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości
- gdzie jest prędkością fali w ośrodku.
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c d funkcja liniowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-16] .
- ↑ wyraz wolny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-16] .
- ↑ zależność liniowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-16] .
- ↑ Waliszewski 1988 ↓, s. 312.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Włodzimierz Waliszewski: Encyklopedia szkolna. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988. ISBN 83-02-02551-8.
Literatura dodatkowa
[edytuj | edytuj kod]- Jacek Gancarzewicz: Algebra liniowa i jej zastosowanie. Kraków: Uniwersytet Jagielloński, 2014. ISBN 83-233-1832-8.
- Marek Kordos, Lesław Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Tomasz Wójtowicz, Funkcja liniowa – pojęcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-09-16].
- Eric W. Weisstein , Linear Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
- Linear function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-16].