Spis treści
Twierdzenie Arzeli-Ascolego
Twierdzenie Arzeli-Ascolego – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej, podające – w najprostszym przypadku – warunek wystarczający możliwości znalezienia podciągu w ciągu funkcji ciągłych, określonych na przestrzeni zwartej, zbieżnego jednostajnie. Pierwsza wersja twierdzenia została udowodniona w roku 1883 przez Giulio Ascolego[1], na długo przed wykształceniem się aparatu współczesnej topologii, lecz mimo to sens tego twierdzenia jest czysto topologiczny, a ono samo mówi de facto o (względnie) zwartych podzbiorach przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą/topologią zbieżności jednostajnej.
Twierdzenie Arzeli-Ascolego ma liczne zastosowania w matematyce. Za jego pomocą można na przykład udowodnić istnienie rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego
gdy o funkcji nie zakłada się nic więcej poza jej ciągłością (zob. twierdzenie Peana).
Pojęcia wstępne
[edytuj | edytuj kod]Niech będą przestrzeniami topologicznymi. Symbol oznacza przestrzeń funkcji ciągłych określonych na i o wartościach w
- Gdy jest przestrzenią zwartą, a jest przestrzenią Banacha to jest przestrzenią Banacha z normą supremum.
Niech będzie przestrzenią metryczną oraz będzie przestrzenią unormowaną. Mówi się, że rodzina jest
- wspólnie ograniczona, gdy dla pewnego i dla każdego
- jednakowo ciągła (albo równociągła), gdy dla każdego istnieje takie że dla wszelkich oraz każdego
- punktowo relatywnie zwarta, gdy dla każdego domknięcie zbioru
- jest zbiorem zwartym.
Twierdzenie
[edytuj | edytuj kod]Wersja klasyczna
[edytuj | edytuj kod]Klasyczna wersja twierdzenia Arzeli-Ascolego mówi, że
- Jeżeli jest ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na przedziale zwartym, który jest wspólnie ograniczony i jednakowo ciągły (tzn. rodzina jest jednakowo ciągła), to zawiera on podciąg zbieżny jednostajnie.
Założenie jednakowej ciągłości jest istotne – istnieje ciąg ograniczonych funkcji ciągłych który nie ma podciągu zbieżnego jednostajnie. Istotnie, niech
dla oraz Licznik i mianownik wyrażenia są nieujemne, skąd (wspólna ograniczoność na [0,1]). Ponadto,
dla każdego ale
dla więc żaden podciąg ciągu nie jest zbieżny jednostajnie.
Twierdzenie Arzeli-Ascolego jest niejako odwróceniem twierdzenia mówiącego, że
- Jeżeli jest ciągiem funkcji określonych na przestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej to jest rodziną jednakowo ciągłą.
Istotnie, niech będzie ustaloną liczbą, a zatem istnieje liczba naturalna taka, że
- dla
Każda funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym jest jednostajnie ciągła (zob. twierdzenie Diniego), więc istnieje liczba taka, że
dla Gdy oraz to
co kończy dowód.
Wersja ogólna
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną oraz będzie przestrzenią metryczną. Ogólną wersję twierdzenia Arzeli-Ascolego można sformułować w postaci warunku koniecznego i wystarczającego na to by podzbiór przestrzeni był zwarty w sensie topologii zwarto-otwartej:
- Rodzina jest zwarta w sensie topologii zwarto-otwartej wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo ciągła, punktowo relatywnie zwarta i domknięta.
Twierdzenie to jest rzeczywiście uogólnieniem wersji klasycznej twierdzenia Arzeli-Ascolego ponieważ w przypadku, gdy jest przestrzenią zwartą, a przestrzenią metryczną (lub ogólniej przestrzenią jednostajną), to topologia zwarto-otwarta pokrywa się topologią zbieżności jednostajnej w
Uogólnienia
[edytuj | edytuj kod]Poniżej znajdują się twierdzenia topologii ogólnej, które w literaturze topologicznej również noszą nazwy twierdzeń Ascolego:
- Jeżeli jest -przestrzenią, a jest przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór przestrzeni z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest rodziną jednakowo ciągła (elementami przestrzeni są funkcje ) i dla każdego zbiór ma zwarte domknięcie.
- Jeżeli jest -przestrzenią, a przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór przestrzeni z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru zwartego przekształcenia rodziny są jednakowo ciągłe i dla każdego zbiór ma zwarte domknięcie.
Kelley i Morse udowodnili powyższe twierdzenia w przypadku, gdy jest przestrzenią lokalnie zwartą. Sformułowane wyżej uogólnienia na -przestrzenie podali w roku 1966 Bagley i Young[2].
Twierdzenie Ascolego-Arzeli dla multifunkcji
[edytuj | edytuj kod]W roku 1976 Pedro Morales i Goeffrey Fox uogólnili twierdzenie Ascolego-Arzeli (-Morse’a-Kelleya) na przestrzenie multifunkcji. W celu sformułowania tego wyniku potrzebne są następujące definicje:
Niech będzie niepustym zbiorem oraz będzie przestrzenią topologiczną.
- Multifunkcja nayzwana jest punktowo zwartą, gdy dla każdego zbiór jest zwarty. Symbolem oznacza się rodzinę wszystkich punktowo zwartych multifunkcji z -produktu
- Jeśli (zob. -produkt) oraz to symbolem oznacza się zbiór
- Zbiór nazywany jest punktowo ograniczonym, gdy dla każdego domknięcie w przestrzeni zbioru jest zbiorem zwartym.
- Zbiór nazywany jest zbiorem Tichonowa, gdy dla każdego punktowo ograniczonego zbioru zwarty jest zbiór (w sensie topologii w -produkcie):
- Niech dalej będzie przestrzenią topologiczną. Multifunkcję nazywamy ciągłą z dołu (ciągłą z góry) gdy dla każdego zbioru otwartego zbiór jest otwarty w Multufunkcje ciągłe jednocześnie z dołu i z góry nazywane są ciągłymi.
- Zbiór nazywany równociągłym, gdy dla każdego dla każdego zwartego podzbioru przestrzeni oraz dla każdego otoczenia otwartego zbioru istnieje otoczenie punktu oraz otoczenie zbioru takie że
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Giulio Ascoli. Le curve limiti di una varietà data di curve. „Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.”. 18 (3), s. 521–586, 1883–1884.
- ↑ R.W. Bagley, J.S. Yang, On k-spaces and function spaces, „Proc. Amer. Math. Soc.” 17 (1966), s. 703–705.