Uzwarcenie Čecha-Stone’a

Uzwarcenie Čecha-Stone’a – maksymalne (w pewnym, zdefiniowanym niżej sensie) uzwarcenie przestrzeni całkowicie regularnej spełniającej aksjomat oddzielania ${\displaystyle T_{1}}$. Badania nad tego rodzaju uzwarceniami zostały zainicjowane (z odmiennych punktów widzenia) niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha^[1] i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone’a^[2] w 1937.

Andriej Tichonow udowodnił, że każda całkowicie regularna przestrzeń typu ${\displaystyle T_{1}}$ wagi ${\displaystyle \kappa }$ jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Tichonowa ${\displaystyle [0,1]^{\kappa }.}$ Z twierdzenia tego można wyprowadzić, że przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie (będące przestrzenią Hausdorffa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią tego rodzaju.

Jeżeli ${\displaystyle (Y_{1},e_{1})}$ i ${\displaystyle (Y_{2},e_{2})}$ są uzwarceniami danej przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to można zdefiniować między nimi relację

${\displaystyle (Y_{1},e_{1})\sqsubseteq (Y_{2},e_{2})}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja ciągła ${\displaystyle f\colon Y_{2}\to Y_{1}}$ spełniająca warunek ${\displaystyle f\circ e_{2}=e_{1}.}$

Ponadto, jeżeli

${\displaystyle (Y_{1},e_{1})\sqsubseteq (Y_{2},e_{2})}$ oraz ${\displaystyle (Y_{2},e_{2})\sqsubseteq (Y_{1},e_{1}),}$

to istnieje homeomorfizm ${\displaystyle h\colon Y_{1}\to Y_{2}}$ spełniający warunek

${\displaystyle h\circ e_{1}=e_{2}.}$

Rodzina wszystkich uzwarceniń Hausdorffa przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest klasą właściwą. Relacja ${\displaystyle \sqsubseteq }$ pozwala ograniczyć się wyłącznie do klas abstrakcji tej relacji – zabieg ten nie gwarantuje jednak, że klasy abstrakcji będą zbiorami. Z drugiej strony, ${\displaystyle X}$ jest z określenia gęstą podprzestrzenią swojego uzwarcenia, a więc waga każdego z uzwarceń nie przekracza liczby ${\displaystyle \lambda =2^{d(X)},}$ gdzie ${\displaystyle d(X)}$ oznacza gęstość przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Spostrzeżenie to pozwala utożsamiać każde uzwarcenie przestrzeni ${\displaystyle X}$ z podzbiorem kostki Tichonowa ${\displaystyle [0,1]^{\lambda },}$ co pozwala już rozważać zbiór ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ (a nie klasę właściwą) wszystkich (typów) uzwarceń przestrzeni ${\displaystyle X.}$

Twierdzenie o przekątnej gwarantuje, że każdy niepusty podzbiór ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ ma element maksymalny, a więc w szczególności, że w ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ istnieje element największy – element ten oznaczany jest symbolem ${\displaystyle \beta X}$ i nazywany jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni ${\displaystyle X.}$

W literaturze topologicznej istnieje wiele równoważnych charakteryzacji uzwarcenia Čecha-Stone’a ${\displaystyle \beta X}$ przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Następujące twierdzenie^[3] podaje kilka z nich.

Twierdzenie: Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie całkowicie regularną przestrzenią topologiczną ${\displaystyle T_{1}.}$ Wówczas ${\displaystyle X}$ ma jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu) uzwarcenie ${\displaystyle \beta X,}$ które ma następujące równoważne własności:

1. każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni ${\displaystyle X}$ w zwartą przestrzeń ${\displaystyle T_{2}}$ może być przedłużone (jednoznacznie) na ${\displaystyle \beta X,}$
2. każde uzwarcenie przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest ciągłym obrazem przestrzeni ${\displaystyle \beta X}$ przez odwzorowanie, które jest identycznością na ${\displaystyle X,}$
3. każda ograniczona funkcja ciągła ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ ma przedłużenie ciągłe na ${\displaystyle \beta X,}$
4. jeśli ${\displaystyle Z_{1},}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ są zbiorami punktów zerowych pewnych rzeczywistych funkcji ciągłych na ${\displaystyle X,}$ to

${\displaystyle \mathrm {cl} _{\beta X}(Z_{1})\cap \mathrm {cl} _{\beta X}(Z_{2})=\mathrm {cl} _{\beta X}(Z_{1}\cap Z_{2}),}$

1. rozłączne zbiory punktów zerowych funkcji ciągłych z ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mają rozłączne domknięcia w ${\displaystyle \beta X,}$
2. każde dwa podzbiory ${\displaystyle X}$ oddzielalne przez funkcję ciągłą mają rozłączne domknięcia w ${\displaystyle \beta X,}$
3. każdy punkt w ${\displaystyle \beta X}$ jest granicą jedynego ${\displaystyle z}$-ultrafiltru na ${\displaystyle X.}$

Powyżej, zdefiniowaliśmy uzwarcenie ${\displaystyle \beta X}$ w terminach abstrakcyjnych własności. Można jednak podać konstrukcję uzwarcenia spełniającego (równoważne) warunki definiujące ${\displaystyle \beta X.}$ Niech ${\displaystyle C=C^{*}(X)}$ będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni ${\displaystyle X}$ w odcinek domknięty ${\displaystyle [0,1]}$ i niech zbiór ${\displaystyle [0,1]^{C}}$ wszystkich funkcji z ${\displaystyle C}$ w ${\displaystyle [0,1]}$ będzie traktowany jako produkt różnych kopii odcinka ${\displaystyle [0,1].}$ Wyposażmy ${\displaystyle [0,1]^{C}}$ w topologię produktową i rozważmy odwzorowanie

${\displaystyle e:X\longrightarrow [0,1]^{C}:x\mapsto (f(x))_{f\in C}.}$

Sprawdza się, że ${\displaystyle e}$ jest homeomorfizmem z ${\displaystyle X}$ na ${\displaystyle e(X)}$ (gdzie ${\displaystyle e(X)}$ jest rozważane z topologią podprzestrzeni przestrzeni ${\displaystyle [0,1]^{C}}$). Na mocy twierdzenia Tichonowa, przestrzeń ${\displaystyle [0,1]^{C}}$ jest zwarta. Niech ${\displaystyle K}$ będzie domknięciem ${\displaystyle e(X)}$ w ${\displaystyle [0,1]^{C}.}$ Wówczas ${\displaystyle (e,K)}$ jest uzwarceniem ${\displaystyle T_{2}}$ przestrzeni ${\displaystyle X.}$

Dla funkcji ciągłej ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow [0,1]}$ rozważmy funkcję ${\displaystyle f^{*}\colon K\longrightarrow [0,1]}$ daną przez warunek ${\displaystyle f^{*}(k)=k(f).}$ Można łatwo zweryfikować, że ${\displaystyle f^{*}}$ jest funkcją ciągłą oraz ${\displaystyle f^{*}(e(x))=f(x)}$ dla ${\displaystyle x\in X.}$ Bezpośrednio stąd możemy wywnioskować, że ${\displaystyle K}$ spełnia trzeci warunek twierdzenia sformułowanego w poprzedniej sekcji.

Wśród uzwarceń maksymalnych przestrzeni topologicznych, chyba najbardziej zbadanym jest uzwarcenie ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ przestrzeni liczb naturalnych wyposażonej w topologię dyskretną. ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ jest obiektem badanym także w teorii mnogości, gdzie duże znaczenie ma reprezentacja tej przestrzeni jako przestrzeni ultrafiltrów (filtrów maksymalnych) podzbiorów ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

Niech ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ będzie zbiorem wszystkich ultrafiltrów na ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ Dla zbioru ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ niech

${\displaystyle U_{A}=\{F\in \beta \mathbb {N} \colon A\in F\}.}$

Wówczas rodzina

${\displaystyle \{U_{A}\colon A\subseteq \mathbb {N} \}}$

jest bazą pewnej topologii ${\displaystyle \tau _{\beta \mathbb {N} }}$ na ${\displaystyle \beta \mathbb {N} .}$ Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle (\beta \mathbb {N} ,\tau _{\beta \mathbb {N} })}$ jest zwartą przestrzenią ${\displaystyle T_{2}}$ a funkcja

${\displaystyle e\colon \mathbb {N} \longrightarrow \beta \mathbb {N} }$

odwzorowująca liczbę ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ na ultrafiltr główny generowany przez ${\displaystyle \{n\}}$ jest zanurzeniem homeomorficznym, którego obraz jest gęsty w ${\displaystyle \beta \mathbb {N} .}$ Zatem ${\displaystyle (\beta \mathbb {N} ,e)}$ jest uzwarceniem przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {N} }$ i można sprawdzić, że spełnia ono warunek 6 z twierdzenia podanego w drugiej sekcji. Zatem jest to uzwarcenie Čecha-Stone’a.

Przykładowe własności ${\displaystyle \beta \mathbb {N} {:}}$

• Przestrzeń ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ jest ośrodkowa i minimalna moc bazy tej przestrzeni wynosi ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ (istnieje przy tym baza mocy ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ złożona ze zbiorów otwarto-domkniętych).
• ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ jest ekstremalnie niespójna (a więc także zerowymiarowa). Punkt należący do ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiada ultrafiltrowi głównemu generowanemu przez pewną liczbą naturalną.
• ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ jest mocy ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}.}$
• Jeśli ${\displaystyle p\in \beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} ,}$ to ${\displaystyle \{p\}}$ nie jest zbiorem typu G_δ.
• Jeśli CH jest prawdziwa i ${\displaystyle p\in \beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} ,}$ to ${\displaystyle (\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} )\setminus \{p\}}$ nie jest przestrzenią normalną.
• Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa mająca bazę mocy ${\displaystyle \leqslant \aleph _{1}}$ jest ciągłym obrazem ${\displaystyle \beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} .}$
• ${\displaystyle \beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$ zawiera kopie homeomorficzne przestrzeni ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ (jednak żadna taka kopia nie jest podzbiorem domknięto-otwartym ${\displaystyle \beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$).
• Przestrzeń Banacha ${\displaystyle C(\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} )}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ${\displaystyle \ell _{\infty }/c_{0}}$ (a nawet przestrzenie te są *-izomorficzne jako C*-algebry).

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń zupełna w sensie Čecha
• twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a
• uzwarcenie Wallmana