Uzwarcenie

Uzwarcenie, inaczej kompaktyfikacja, przedłużenie zwarte lub rozszerzenie zwarte^[1] – rozszerzenie danej przestrzeni topologicznej tak, by była ona przestrzenią zwartą.

Uzwarceniem przestrzeni ${\displaystyle (X,\tau )}$ nazywamy parę ${\displaystyle (Y,e)}$ taką, że ${\displaystyle Y}$ jest zwartą przestrzenią topologiczną, zaś ${\displaystyle e\colon X\to Y}$ jest zanurzeniem homeomorficznym oraz ${\displaystyle e(X)}$ jest gęstym podzbiorem ${\displaystyle Y.}$ Jeśli dodatkowo ${\displaystyle Y\in T_{2},}$ czyli ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią Hausdorffa, to uzwarcenie ${\displaystyle (Y,e)}$ nazywa się uzwarceniem Hausdorffa ${\displaystyle (T_{2})}$.

Zwykle pomija się zanurzenie ${\displaystyle e,}$ szczególnie jeśli jest ono identycznością i w sytuacji jak powyżej mówi się, że przestrzeń ${\displaystyle Y}$ jest uzwarceniem przestrzeni ${\displaystyle X}$. Często też utożsamiamy punkty ${\displaystyle x\in X}$ z ich obrazami ${\displaystyle e(x)\in Y}$ i traktujemy ${\displaystyle X}$ jako podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle Y.}$

Jedynym uzwarceniem zwartej przestrzeni Hausdorffa jest ona sama.

Niech ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ będzie niezwartą, lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną i niech ${\displaystyle \infty }$ będzie pewnym obiektem nie należącym do zbioru ${\displaystyle X.}$ Połóżmy ${\displaystyle Y=X\cup \{\infty \}}$ i

${\displaystyle \tau _{Y}=\tau _{X}\cup {\big \{}U\cup \{\infty \}:U\in \tau _{X}}$ i ${\displaystyle X\setminus U}$ jest zwartym podzbiorem ${\displaystyle X{\big \}}.}$

Wówczas ${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$ jest zwartą przestrzenią topologiczną. Ponadto zanurzenie identycznościowe ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}:X\longrightarrow X\subseteq Y}$ jest zanurzeniem homeomorficznym i ${\displaystyle X}$ jest gęstym podzbiorem. Tak więc ${\displaystyle (Y,\mathrm {id} _{X})}$ jest uzwarceniem przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Uzwarcenie to nazywamy uzwarceniem jednopunktowym lub uzwarceniem Aleksandrowa.

Z powyższych rozważań wynika, że każda przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie. Niestety, to uzwarcenie nie musi spełniać aksjomatu T₂. Łatwo można sprawdzić, że uzwarcenie Aleksandrowa przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X}$ jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa.

Warto zauważyć, że jeśli wyjściowa przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest zwarta, to powyższa procedura nie daje uzwarcenia ${\displaystyle X,}$ jako że wtedy ${\displaystyle X}$ nie będzie gęstym podzbiorem ${\displaystyle Y.}$ Uzwarcenia jednopunktowe były wprowadzone do literatury matematycznej przez Aleksandrowa i Urysohna^[2] w 1929.

Każda zwarta przestrzeń T₂ jest przestrzenią normalną, a więc także przestrzenią całkowicie regularną. Ponieważ „bycie przestrzenią Tichonowa” jest własnością dziedziczną, jeśli przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ ma uzwarcenie Hausdorffa, to sama przestrzeń ${\displaystyle X}$ musi być całkowicie regularna. Z drugiej strony, Tichonow udowodnił, że każda przestrzeń ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$ może być zanurzona w produkt ${\displaystyle [0,1]^{I}}$ pewnej ilości kopii domkniętych odcinków. Ponieważ, na podstawie innego twierdzenia Tichonowa, przestrzeń ${\displaystyle [0,1]^{I}}$ jest zwarta (a domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte), to można teraz łatwo znaleźć uzwarcenie Hausdorffa wyjściowej przestrzeni.

Tak więc, przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ ma uzwarcenie Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią całkowicie regularną.

Wśród uzwarceń Hausdorffa danej przestrzeni całkowicie regularnej ${\displaystyle X,}$ jedno uzwarcenie ma uniwersalny charakter – jest to uzwarcenie Čecha-Stone’a ${\displaystyle \beta X.}$ Uzwarcenie to było wprowadzone i badane niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone’a w latach 30. XX wieku. Może być ono scharakteryzowane przez każde z następujących dwóch twierdzeń:

• Twierdzenie Stone’a: Każda całkowicie regularna przestrzeń ${\displaystyle X}$ ma uzwarcenie Hausdorffa ${\displaystyle \beta X}$ takie, że każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni ${\displaystyle X}$ w zwartą przestrzeń T₂ może być przedłużone na ${\displaystyle \beta X.}$
• Twierdzenie Čecha: Każda całkowicie regularna przestrzeń ${\displaystyle X}$ ma uzwarcenie Hausdorffa ${\displaystyle \beta X}$ takie, że każde dwa podzbiory ${\displaystyle X}$ oddzielalne przez funkcję ciągła mają rozłączne domknięcia.

Należy zauważyć, że uzwarcenie ${\displaystyle \beta X}$ jest jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu identycznościowego na ${\displaystyle X}$). Ponadto, każde uzwarcenie całkowicie regularnej przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest ciągłym obrazem przestrzeni ${\displaystyle \beta X}$ przez odwzorowanie które jest identycznością na ${\displaystyle X.}$

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń zupełna w sensie Čecha
• przestrzeń zwarta