Homomorfizm grup – funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr^[a][b].

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupy, należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze^[c]. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy^[d] pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej.

Niech ${\displaystyle G,G'}$ będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropki^[e]. Przekształcenie ${\displaystyle \varphi \colon G\to G'}$ nazywa się homomorfizmem grupy ${\displaystyle G}$ w grupę ${\displaystyle G',}$ jeżeli dla każdego ${\displaystyle a,b\in G}$ zachodzi

${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\cdot \varphi (b).}$

Działanie homomorfizmu ${\displaystyle \varphi }$ na elemencie ${\displaystyle a,}$ zwyczajowo zapisywane ${\displaystyle \varphi (a)}$ lub po prostu ${\displaystyle \varphi a,}$ bywa w niektórych monografiach odwracane: ${\displaystyle a\varphi ;}$ można również spotkać się z oznaczeniem ${\displaystyle a^{\varphi }.}$ Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się ${\displaystyle (ab)\varphi =a\varphi \cdot b\varphi }$ lub ${\displaystyle ab^{\varphi }=a^{\varphi }\cdot b^{\varphi },}$ przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w zapisie addytywnym, tzn. ${\displaystyle (a+b)\varphi =a\varphi +b\varphi }$ zamiast ${\displaystyle \varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)}$^[f].

 Zobacz też: homomorfizm, element neutralny, element odwrotny i rząd.

Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech ${\displaystyle a\in G,}$ wtedy zachodzą następujące własności:

• zachowywanie elementu neutralnego^[g]

  ${\displaystyle \varphi (1)=1',}$

• zachowywanie elementu odwrotnego^[h]

  ${\displaystyle \varphi \left(a^{-1}\right)=\varphi (a)^{-1}.}$

Homomorfizmy zachowują również potęgę elementu^[i][j][k],

${\displaystyle \varphi \left(a^{n}\right)=\varphi (a)^{n},}$

jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielność^[l] (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange’a)

${\displaystyle \mathrm {ord} (\varphi (a)){\big |}\mathrm {ord} (a).}$

 Zobacz też: endomorfizm, izomorfizm, automorfizm, monomorfizm i epimorfizm.

Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm ${\displaystyle \varphi \colon G\to G.}$ Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm ${\displaystyle \varphi \colon G\to G',}$ dla którego istnieje homomorfizm odwrotny ${\displaystyle \psi \colon G'\to G,}$ czyli spełniający tożsamość ${\displaystyle \psi \circ \varphi =\varphi \circ \psi =\imath ,}$ gdzie ${\displaystyle \imath }$ jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupy^[m], nazywa się izomorfizmem. Grupy ${\displaystyle G,G'}$ dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza ${\displaystyle G\simeq G';}$ relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grup^[n]

Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ odwrotny do izomorfizmu ${\displaystyle \varphi }$ również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy ${\displaystyle G}$ tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie ${\displaystyle \circ ,}$ a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy ${\displaystyle \imath .}$

Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.

Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z teorii kategorii. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie teorii mnogości monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio iniektywne (różnowartościowe) i suriektywne („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami bijektywnymi (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia jądra i obrazu funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące relacją równoważności musi być równością (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.

 Zobacz też: jądro i obraz.

W algebrze jądro i obraz homomorfizmu ${\displaystyle \varphi }$ definiuje się odpowiednio jako zbiory

${\displaystyle \ker \varphi ={\big \{}a\in G\colon \varphi (a)=1'{\big \}}=\varphi ^{-1}{\big [}1'{\big ]}}$

oraz

${\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi ={\big \{}\varphi (a)\in G'\colon a\in G{\big \}}=\varphi [G],}$

gdzie ${\displaystyle \varphi [\ ]}$ i ${\displaystyle \varphi ^{-1}[\ ]}$ oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu ${\displaystyle \varphi .}$ Obraz ${\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi }$ jest podgrupą w ${\displaystyle G',}$ a jądro ${\displaystyle \ker \varphi }$ jest podgrupą normalną^[o] w ${\displaystyle G;}$ odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. dalej).

Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm ${\displaystyle \varphi ,}$ który ma trywialne jądro, ${\displaystyle \ker \varphi =\{1'\};}$ z kolei epimorfizm to homomorfizm ${\displaystyle \varphi ,}$ którego obraz jest całą przeciwdziedziną, ${\displaystyle \operatorname {im} \;\varphi =G'.}$ Izomorfizm ${\displaystyle \varphi }$ definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).

 Zobacz też: grupa ilorazowa, twierdzenie o homomorfizmie i twierdzenie o izomorfizmie.

Podgrupa normalna ${\displaystyle N}$ wyznacza jednoznacznie podział ${\displaystyle G}$ na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową ${\displaystyle G/N}$ grupy ${\displaystyle G}$ przez ${\displaystyle N;}$ przekształcenie rzutowe ${\displaystyle \pi \colon G\to G/N}$ grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).

Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm ${\displaystyle \psi \colon G/N\to G'}$ spełniający ${\displaystyle \psi \circ \pi =\varphi ;}$ z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między ${\displaystyle G/N}$ a ${\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi .}$ Grupę ${\displaystyle G/\ker \varphi }$ nazywa się niekiedy koobrazem ${\displaystyle \varphi ,}$ z kolei jeżeli ${\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi }$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle G',}$ to ${\displaystyle G'/\mathrm {im} \;\varphi }$ nazywa się kojądrem ${\displaystyle \varphi .}$

 Zobacz też: działanie określone punktowo, złożenie przekształceń i pierścień endomorfizmów grupy abelowej.

Niech ${\displaystyle \mathrm {Map} (G,G')}$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń ${\displaystyle G\to G'.}$ Dla dwóch przekształceń ${\displaystyle \varphi ,\psi \in \mathrm {Map} (G,G')}$ można określić punktowo działanie ich dodawania ${\displaystyle \varphi +\psi }$ wzorem^[p]

${\displaystyle (\varphi +\psi )(a)=\varphi (a)\cdot \psi (a)}$

dla wszystkich ${\displaystyle a\in G,}$ które jest łączne (własność odziedziczona z grupy ${\displaystyle G'}$). Homomorfizm zerowy ${\displaystyle \theta \in \mathrm {Hom} (G,G')}$ (zob. Przykłady) jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {Hom} (G,G')}$ istnieje element przeciwny ${\displaystyle -\varphi \in \mathrm {Hom} (G,G')}$ dany wzorem^[q] ${\displaystyle (-\varphi )(a)=\varphi (a)^{-1}}$^[r]. Innymi słowy ${\displaystyle \mathrm {Map} (G,G')}$ tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli ${\displaystyle G'}$ jest przemienna^[s].

Niech ${\displaystyle \mathrm {Map} (G)=\mathrm {Map} (G,G)}$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy ${\displaystyle G}$ w siebie, wówczas ${\displaystyle \mathrm {Sym} (G)}$ oznacza grupę symetryczną zawierającą bijekcje ${\displaystyle G,}$ czyli przekształcenia odwracalne należące do ${\displaystyle \mathrm {Map} (G).}$ Dodawanie przekształceń ${\displaystyle G}$ w siebie jest rozdzielne prawostronnie względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli ${\displaystyle \varphi ,\psi ,\sigma \in \mathrm {Map} (G),}$ to

${\displaystyle (\varphi +\psi )\circ \sigma =\varphi \circ \sigma +\psi \circ \sigma ,}$

jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn. ${\displaystyle \sigma \circ (\varphi +\psi )=\sigma \circ \varphi +\sigma \circ \psi .}$ Strukturę określoną na zbiór ${\displaystyle \mathrm {Map} (G)}$ z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia (półgrupa) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się quasi-pierścieniem. Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego ${\displaystyle \imath \in \mathrm {Map} (G).}$

Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych ${\displaystyle G\to G'}$ będącą podzbiorem ${\displaystyle \mathrm {Map} (G,G')}$ oznacza się symbolem ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,G');}$ z kolei zbiór ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,G)}$ endomorfizmów grupy ${\displaystyle G}$ oznacza się ${\displaystyle \mathrm {End} (G).}$ Ponieważ dla ${\displaystyle \varphi ,\psi \in \mathrm {End} (G)}$ ich złożenie ${\displaystyle \varphi \circ \psi \in \mathrm {End} (G),}$ to ${\displaystyle \mathrm {End} (G)}$ jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym) ${\displaystyle \mathrm {Map} (G);}$ mimo wszystko ${\displaystyle \varphi +\psi }$ nie musi należeć do ${\displaystyle \mathrm {End} (G),}$ jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach ${\displaystyle \varphi ,\psi }$ mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element ${\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi }$ jest przemienny z dowolnym elementem ${\displaystyle \mathrm {im} \;\psi }$^[t], co więcej ${\displaystyle \varphi +\psi =\psi +\varphi }$^[u].

Jeśli ${\displaystyle \varphi ,\psi \in \mathrm {Map} (G),}$ zaś ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {End} (G),}$ to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składania^[v],

${\displaystyle \sigma \circ (\varphi +\psi )=\sigma \circ \varphi +\sigma \circ \psi .}$

Gdy ${\displaystyle G}$ jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że ${\displaystyle \mathrm {End} (G)}$ ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy ${\displaystyle G.}$ Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli ${\displaystyle \imath +\imath \in \mathrm {End} (G),}$ to z powyższego wynika, że ${\displaystyle G}$ jest abelowa.

Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {Hom} (A,B)}$ oraz ${\displaystyle \beta ,\gamma \in \mathrm {Hom} (B,C)}$ i ${\displaystyle \delta \in \mathrm {Hom} (C,D)}$ są homomorfizmami grup abelowych ${\displaystyle A,B,C,D,}$ to ${\displaystyle (\beta +\gamma )\circ \alpha =\beta \circ \gamma +\gamma \circ \alpha }$ oraz ${\displaystyle \delta \circ (\beta +\gamma )=\delta \circ \beta +\delta \circ \gamma .}$ Wynika stąd, że kategoria ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywną^[w]; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ jest kategorią abelową^[1]; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.

 Zobacz też: element odwracalny, podgrupa normalna i podgrupy charakterystyczna oraz w pełni niezmiennicza.

Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w ${\displaystyle \mathrm {End} (G)}$ nazywa się grupą automorfizmów ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$ grupy ${\displaystyle G}$^[x]. Przekształcenie ${\displaystyle \varphi \colon G\to \mathrm {Aut} (G)}$ grupy ${\displaystyle G}$ w grupę jej automorfizmów dane wzorem ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi _{a},}$ gdzie automorfizm ${\displaystyle \varphi _{a}}$ jest automorfizmem wewnętrznym, tzn. ${\displaystyle \varphi _{a}(g)=aga^{-1}}$ dla dowolnego ${\displaystyle g\in G,}$ jest homomorfizmem grup, ponieważ^[y]

${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi _{ab}=\varphi _{a}\circ \varphi _{b}=\varphi (a)\circ \varphi (b).}$

Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór

${\displaystyle \ker \varphi ={\big \{}a\in G\colon \varphi (a)=\imath {\big \}}={\big \{}a\in G\colon \varphi _{a}(g)=aga^{-1}=g{\text{ dla }}g\in G{\big \}}}$

wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli centrum ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)=\{a\in G\colon ag=ga\mathrm {\ dla\ } g\in G\}}$ grupy ${\displaystyle G;}$ obrazem jest z kolei

${\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi ={\big \{}\varphi (a)\in G'\colon a\in G{\big \}}={\big \{}\varphi _{a}\in G'\colon \varphi _{a}(g)=aga^{-1}{\text{ dla }}a,g\in G{\big \}},}$

czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych ${\displaystyle \mathrm {Inn} (G);}$ automorfizmy te tworzą podgrupę w ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G),}$ która jest normalna – grupę ilorazową ${\displaystyle \mathrm {Out} (G)=\mathrm {Aut} (G)/\mathrm {Inn} (G)}$ nazywa się grupą automorfizmów zewnętrznych pomimo że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.

Podgrupę ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ nazywa się w pełni niezmienniczą, jeżeli ${\displaystyle \varphi (H)}$ jest podgrupą w ${\displaystyle H}$ dla dowolnego ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {End} (G);}$ jeżeli ${\displaystyle H}$ spełnia ten sam warunek dla dowolnego ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {Aut} (G),}$ to nazywa się ją charakterystyczną^[z], jeśli dla ${\displaystyle H}$ zachodzi ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {Inn} (G),}$ to jest ona normalna^[aa]. Wynika stąd, że każda podgrupa w pełni niezmiennicza jest charakterystyczna, a każda podgrupa charakterystyczna jest normalna (zatem podgrupa w pełni niezmiennicza jest normalna). Wiele z powyższych koncepcji można zunifikować do ogólniejszego pojęcia grupy z operatorami (uogólnia ono również pojęcie modułu).

Homomorfizm ${\displaystyle \theta \colon G\to G'}$ dany wzorem ${\displaystyle \theta (a)=1'}$ dla dowolnego ${\displaystyle a\in G}$ nazywa się homomorfizmem trywialnym lub zerowym, gdyż jego obrazem jest podgrupa trywialna w ${\displaystyle G'.}$ Odwzorowanie to jest monomorfizmem wyłącznie wtedy, gdy ${\displaystyle G}$ jest grupą trywialną. Jest to zarazem przykład na to, iż rząd obrazu elementu nie musi być równy rzędowi elementu (nie może być z większy, gdyż homomorfizmy zachowują potęgę elementu): dowolny element ${\displaystyle a\neq 1}$ rzędu większego niż ${\displaystyle 1}$ jest przekształcany przez ${\displaystyle \theta }$ na element ${\displaystyle 1'}$ rzędu ${\displaystyle 1.}$

Homomorfizm ${\displaystyle \imath \colon G\to G}$ zdefiniowany jako ${\displaystyle \imath (a)=a}$ dla każdego ${\displaystyle a\in G}$ jest endomorfizmem, a nawet automorfizmem grupy ${\displaystyle G.}$ Jest on nazywany identycznościowym lub tożsamościowym („identycznością” lub „tożsamością”; ponieważ jest on elementem neutralnym grupy automorfizmów nazywa się go niekiedy automorfizmem trywialnym). W każdej grupie ${\displaystyle G}$ rzędu większego niż ${\displaystyle 2}$ istnieje różny od ${\displaystyle \imath }$ automorfizm: jeśli ${\displaystyle G}$ jest przemienna (abelowa), to jest nim ${\displaystyle \jmath \colon a\mapsto a^{-1}}$ dla ${\displaystyle a\in G}$^[ab], w grupie nieprzemiennej można wybrać element ${\displaystyle a\in \mathrm {Z} (G)}$ należący do jej centrum, dla którego automorfizm wewnętrzny ${\displaystyle \varphi _{a}}$ jest nietrywialny.

Niech ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ będzie grupą różnych od zera liczb rzeczywistych z działaniem grupowym mnożenia, odwracaniem liczb i jedynką jako elementem neutralnym. Odwzorowanie wartości bezwzględnej ${\displaystyle |\ |\colon \mathbb {R} ^{\times }\to \mathbb {R} ^{\times }}$ przypisujące ${\displaystyle r\mapsto |r|}$ jest endomorfizmem, którego obraz ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Przekształcenie ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ również jest endomorfizmem tej grupy o tym samym obrazie. Jądrem obu homomorfizmów jest podgrupa ${\displaystyle \{-1,1\}}$ (izomorficzna z ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$ z działaniem dodawania modulo ${\displaystyle 2,}$ braniem liczby przeciwnej oraz zerem jako elementem neutralnym).

Funkcja wykładnicza ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{\times }}$ jest homomorfizmem grup addytywnej i multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych, ${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),}$ którego jądrem jest zbiór ${\displaystyle \{1\},}$ a obrazem jest zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ dodatnich liczb rzeczywistych (${\displaystyle \exp }$ jest monomorfizmem, ale nie epimorfizmem; izomorfizmem jest określony tym samym wzorem homomorfizm ${\displaystyle \exp \colon R^{+}\to R_{+}^{\times }}$ w grupę multiplikatywną dodatnich liczb rzeczywistych). Podobnie funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathrm {S} ^{1}}$ dana wzorem ${\displaystyle t\mapsto e^{2\pi it}}$ jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb na prostej rzeczywistej z dodawaniem w multiplikatywną grupę liczb z okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z mnożeniem (zob. grupa okręgu)^[ac], którego jądrem są liczby całkowite (zatem nie jest on monomorfizmem, tzn. różnowartościowy), z kolei jest epimorfizmem (czyli „na”). Homomorfizmy grupy przemiennej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterami grupy.

Grupa automorfizmów grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzna z grupą permutacji zbioru trójelementowego, ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V_{4})\simeq S_{3}.}$ Grupa ${\displaystyle V_{4}}$ jest jedyną grupą ${\displaystyle G}$ rzędu większego niż ${\displaystyle 3,}$ dla której ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$ składa się ze wszystkich bijekcji ${\displaystyle \varphi _{1}\colon G\to G}$ zachowujących jedynkę grupy^[ad]. Pierścień ${\displaystyle \mathrm {End} (V_{4})}$ grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzny z pierścieniem ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{2\times 2}(\mathbb {Z} _{2})}$ macierzy typu ${\displaystyle 2\times 2}$ nad ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

• homomorfizm pierścieni

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.