Problem Napoleona – geometryczny problem konstrukcyjny. Dane są w nim okrąg i jego środek. Celem jest podzielenie okręgu na cztery równe łuki za pomocą wyłącznie cyrkla. Napoleon Bonaparte znany był jako matematyk amator, lecz nie wiadomo czy zadał lub rozwiązał to zadanie. Wymóg rozwiązania problemu wyłącznie za pomocą cyrkla (bez użycia linijki) wprowadził włoski matematyk Lorenzo Mascheroni, przyjaciel Napoleona.
Znany jest też tzw. prawdziwy problem Napoleona, w którym za pomocą samego cyrkla należy wyznaczyć środek danego okręgu. W poniższym artykule opisane jest jego rozwiązanie wraz z dowodem.
Należy wspomnieć, iż Georg Mohr w 1672 roku wydał książkę Euclides Danicus zawierającą rozwiązanie tego zadania – wcześniej od Mascheroniego – lecz odkryto ją dopiero w 1928 roku.
Problem Napoleona
[edytuj | edytuj kod]- Podział okręgu na cztery równe łuki przy zadanym jego środku
Łuk o środku w dowolnym punkcie z okręgu zawierający punkt (środek ) przecina w punktach oraz Podobnie łuk o środku w zawierający przecina w i Należy zauważyć, że długości są równe długości promienia
Łuk o środku w do którego należy i łuk o środku w do którego należy przecinają się w punkcie Długości oraz wynoszą pomnożone przez długość promienia okręgu
Łuk o środku w i promieniu równym (czyli pomnożone przez promień okręgu ) przecina w punktach oraz Czworokąt jest kwadratem, a łuki okręgu są wszystkie równe czwartej części obwodu
Prawdziwy problem Napoleona
[edytuj | edytuj kod]- Wyznaczenie środka danego okręgu
Konstrukcja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie okręgiem, w którym szukany jest jego środek.
- Punkt jest dowolnym punktem leżącym na
- Punkty i to punkty przecięcia okręgu o środku w z okręgiem
- Punkt jest punktem przecięcia różnym od dwóch okręgów o środkach w oraz i promieniu
- Punkty i są punktami przecięcia okręgu o środku w i promieniu z okręgiem
- Punkt (nieoznaczony) jest różnym od punktem przecięcia okręgów o środkach i i promieniu
Twierdzenie
[edytuj | edytuj kod]Skonstruowany wyżej punkt jest poszukiwanym środkiem okręgu
- Uwaga
- Należy wykazać, że promień okręgu nie jest ani za mały, ani za duży. Dokładniej: promień ten musi być nie krótszy niż połowa i nie dłuższy niż podwojony promień
Dowód
[edytuj | edytuj kod]Ideą dowodu jest skonstruowanie, samym cyrklem, długości przy danych długościach oraz
Na rysunku trójkąt jest prostokątny, gdyż zaś odcinek jest prostopadły do a więc
skąd
- czyli
Podobny zabieg wykonuje się w tej konstrukcji dwukrotnie:
- punkty oraz leżą na okręgu o środku i promieniu dodatkowo a więc
- punkty oraz leżą na okręgu o środku i promieniu przy czym stąd
Zatem jest środkiem okręgu